Reproduktionseigenschaft der NV |
| 24.07.2007, 03:20 | Karl COX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reproduktionseigenschaft der NV
Hi,Hat die Normalverteilung eine Reproduktionseigenschaft? Konkret: wenn vier Zufallsvariablen A; B; C; D existieren ist dann die Summe S=A+B+C+D auch normalverteilt. Der Erwartungswert muesste ja dann der Summe der Erwartumgswerte der einzelnen Zufallsvariablen sein? Ist die Varianz von S auch die Summe der Einzelvarianzen oder muss man die Kovarianzen noch beachten? Danke !! 
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| 24.07.2007, 03:22 | Karl COX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ups was vergessen. naturlich sollen A, B, C, D alle normalverteilt sein. 
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| 24.07.2007, 04:08 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du zwei Normalverteilungen und hast, dann ist die Summe normalverteilt mit den Parametern . Allerdings müssen dazu X_1 und X_2 unabhängig sein! Einen Beweis findest du hier: http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochas...ipt/node38.html Und das ganze ist dann natürlich induktiv auf mehr Summanden erweiterbar. |
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| 25.07.2007, 00:27 | Karl COX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke fuer die Antwort. Angenommen ich weiss nicht, ob die einzelnen Variablen unabhaengig sind. Ist dann die Summe trotzdem auf jeden Fall normalverteilt? Jetzt mal abgesehen von den Parametern, die die entstehende Verteilung dann hat. Ich schildere mal das Problem. Es sind 168 Maschienen gegeben, die jeweils Wartungskosten pro Monat aufweisen, dabei existieren fuer jede Maschiene 16 Werte (also Wartungskosten von 16 Monaten). Es soll nun eine Prognose fuer die Gesamtkosten des naechsten Monats getroffen werden. Es wird davon ausgegangen das keine Inflation herrscht. Ich habe mir jetzt ueberlegt, dass es die Summenvariable vielleicht Normalverteilt sein koennte und dann Aussagen moeglich waeren wie: Mit einer Wsk von 99% werde die gesamten Wartungskosten fuer den naechsten Monat kleiner sein als...". Um die NV der Summenvariable zu begruenden musste ich nun entweden zeigen, dass der Zentrale Grenzwertsatz gilt. (der der keine Identischen verteilungen verlangt aber Unabhaengigkeit unter den einzelnen Variablen fordert). Dazu muesste ich zeigen, dass die monatlichen Wartungskosten der einzelnen Maschienen unabhaengig voneinander sind. Dazu kenne ich keine geeigneten Tests. Also habe ich folgendes gemacht. Ich habe Erwartungswert und Varianz der monatlichen Kosten jeder einzelnen Manschiene berechnet und dann EW und VAR der Summenvariablen. Es stellte sich heraus, dass der EW gleich der Summe der EW der einzelnen ist (musste ja so sein) aber die Summe der Varianzen circa 1,5 mal so hoch ist, wie die Varianz der Summenvariable. Das laesst ja nun eientlich auf Abhaengigkeiten schliessen, oder? ist diese Abweichung nun signifikant oder nicht? Wenn ich nun schon nicht mit unabhaengigkeit annehmen kann, koennte ich ja noch folgendes machen. Testen ob die monatlichen Kosten der einzelnen Maschienen normalverteilt sind und dann sagen, dass wegen der Reproduktionseigenschaft der NV, die Summenvariable auch NV sein muss. Dann wuerde ich als EW die Summe der Eizelerwartungswerte ansezten und als Varianz die Summe aller Varianzen und Covarianzen. angenommen zwei von den 168 sind laut text nicht normalverteilt, was mach ich dann... wieviel nicht normalverteilte kann ich akzeptieren? Was machte ich wenn die einzelnen nicht nv sind? dann wird das nichts mit einer Prognose oder? Danke |
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| 25.07.2007, 11:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du interessierst dich doch nur für die Summe der Kosten, oder? Dann können dir Abhängigkeiten im Prinzip doch egal sein: Mach für die Gesamtkostenstichprobe einen Test auf Normalverteilung (16 Werte sind allerdings etwas wenig), und gut ist...
Ein klares: Jein. Ist der zufällige Vektor zweidimensional normalverteilt, mit nicht notwendig Kovarianz Null (und damit auch nicht unabhängig), dann ist die Summe auf jeden Fall normalverteilt. Es gibt aber auch teuflische andere Situationen, zugegebenermaßen etwas konstruiert: Seien etwa unabhängig standardnormalverteilt und man bildet daraus Dann sind beide standardnormalverteilt, aber die Summe ist nicht normalverteilt. |
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