Kurvendiskussion bei einer trig. Fkt.

12.02.2005, 16:01

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurvendiskussion bei einer trig. Fkt.

hi leute!
ich hoffe, ihr könnt mir bei folgender aufgabe helfen:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} - 1+cos(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$
D={-2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ;2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ }

Ich soll die Extrem- und Wendepunkte berechenen, hab aber Probleme beim Definitionsbereich. Ich weiß nicht, wie ich eine trigonometrische Funktion 0 setzen soll, damit ich weiter auflösen kann.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe
Gruß dreamer :-)

12.02.2005, 16:20

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion bei einer trig. Fkt.
Hallo.

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
D={-2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ;2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ }

Hast du den Db nicht vorgegben oder ist das das Intevall verwirrt

verwirrt

Für die Extrem- und Wendepunkte brauchst du erstmal die Ableitungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2005, 16:25

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion bei einer trig. Fkt.

Zitat:

D={-2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ;2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ }

das ist das intervall. Hab gedacht, dass das dasselbe ist.

12.02.2005, 16:27

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Also hast du doch den Db schon verwirrt

verwirrt

Das stimmt aber nicht direkt. Denke an den Tangens $\begin{eqnarray*} \tan x \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I = [-\pi|\pi] \end{eqnarray*}$ , Sein Definitionsbereich ist aber $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R: -\pi \leq x \leq \pi \wedge |x|\neq\frac{\pi}{2}\right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du die Ableitungen um Extrema zu berechnen.

12.02.2005, 16:37

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

die ableitungen sind kein problem
f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}- \frac{1}{2} sin( \frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$
f''(x)= $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} cos(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich f'(x)=0 setzen, damit ich die extremstellen rauskrieg
wenn ich das ausrechne, bleibt da dann noch das stehen:
$\begin{eqnarray*} sin(\frac{x}{2} )=1 \end{eqnarray*}$

tja, und jetzt fängt mein problem an, weil ich nicht weiß, wie ich da auf ein ergebnis kommen soll.

12.02.2005, 16:39

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier kannst du die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \sin \frac{x}{2} = \sqrt \frac{1 - \cos x}{2} \end{eqnarray*}$

nutzen Freude

Freude

/edit: Beziehung verbessert. Das führt schneller zum Ziel Freude

Freude

.

Anzeige

12.02.2005, 16:52

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben das in der schule immer anders gemacht. aber da hab ich das nicht verstanden. unser lehrer hat da immer was vom einheitskreis geredet.
speziell bei dieser aufgabe hat der das so aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi * n \end{eqnarray*}$

ich versteh halt den weg nicht, wie er dahin kommt. kannst du damit was anfangen?
gibt es eigentlich kein patentrezept für solche aufgaben, ohne dass man solche theoreme, wie du es gerade geschrieben hast, nutzen muss?

12.02.2005, 17:04

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
speziell bei dieser aufgabe hat der das so aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi * n \end{eqnarray*}$
ich versteh halt den weg nicht, wie er dahin kommt. kannst du damit was anfangen?

Nich so wirklich verwirrt

verwirrt

Zitat:

gibt es eigentlich kein patentrezept für solche aufgaben, ohne dass man solche theoreme, wie du es gerade geschrieben hast, nutzen muss?

Nein. Ein Patentrezept gibt es nicht. Aber häufig wird es auf die folgenden Beziehungen beim Sinus hinauslaufen:

$\begin{eqnarray*} \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) = 2\sin x\cdot \cos x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \end{eqnarray*}$

Am besten macht sich hier die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \end{eqnarray*}$

12.02.2005, 17:19

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, wenn ich das dann ausrechne, kommt raus:
$\begin{eqnarray*} sin²x²=4*\frac{1-cos x}{2} \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt eigentlich? komme ich denn damit überhaupt weiter? verwirrt

verwirrt

12.02.2005, 17:22

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

nein.

Du setzt doch

$\begin{eqnarray*} f'(x) &= 0 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} &= 0 \end{eqnarray*}$

jetzt setzt du einfach, statt

$\begin{eqnarray*} \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \end{eqnarray*}$

ein und löst nach $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ auf Freude

Freude

oder du substituierst $\begin{eqnarray*} u = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ . Habt ihr das schon gemacht verwirrt

verwirrt

/edit: TeX verschönert.

12.02.2005, 17:22

Nadine1987

Auf diesen Beitrag antworten »

heißt deine Funktion
$\begin{eqnarray*} f(\pi) = \frac{\pi }{2} - 1 + \cos(\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\pi }{2}x - 1 + \cos(\frac{\pi}{2}x) \end{eqnarray*}$
wenn, es die 2. Form ist, dann kannst du bei
$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi }{2}x ) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} x \end{eqnarray*}$ = z
setzen und erhältst dann sin z = 1, du berechnest dann z1 und z2
und substituierst dann zurück um auf x zu kommen.

12.02.2005, 17:26

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion bei einer trig. Fkt.
@Nadine

richig lesen böse

böse

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} - 1+cos(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$

12.02.2005, 17:29

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
wir haben das in der schule immer anders gemacht. aber da hab ich das nicht verstanden. unser lehrer hat da immer was vom einheitskreis geredet.
speziell bei dieser aufgabe hat der das so aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi * n \end{eqnarray*}$

ich versteh halt den weg nicht, wie er dahin kommt. kannst du damit was anfangen?
gibt es eigentlich kein patentrezept für solche aufgaben, ohne dass man solche theoreme, wie du es gerade geschrieben hast, nutzen muss?

Dein Lehrer hat das so gemeint:

sin(x/2) = 1

Nun fragt man sich, bei welchem Winkel der Sinus 1 Längeneinheit ist.
Und 1 ist der Sinus bei 90°.
Da aber unter dem sinus nicht alpha, sondern x steht, muss man den Winkel ins Bogenmaß umrechnen.

Da der Einheitskreis den Radius 1 hat. Und der Umfang des Kreises U = 2r * pi ist, ist der U(Einheitskreis) = 2pi

2pi entspricht daher 360°
pi = 180°
pi/2 = 90°
1° = pi/180

Nun weiß man, dass Sinus 1 ist bei pi/2.
Daher gilt nun:

x/2 = pi/2

x = pi

Und da man aber alle nächsten Kreisumdrehungen mit dazu nehmen muss und eine Kreisumdrehung: 2pi hat....und man für n nun die natürlichen Zahlen einsetzen kann....1 Kreisumdrehung 2 Kreisumdrehungen...deswegen steht da dann: 2pi * n

lg kiki

12.02.2005, 17:29

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ja, verstehe. wie dumm von mir. ich steh grad bisschen auf der leitung.
dann heißt es jetzt:
1= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1-cos x}{2}} \end{eqnarray*}$

-1=-cos x

cos x=1

dann ist x=0, oder?

12.02.2005, 17:31

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

@kikira: vielen dank für die erklärung. Freude

Freude

klingt logisch Hammer

Hammer

12.02.2005, 17:33

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast falsch umgestellt, es kommt -1 hin.

Jetzt musst du in der Formelsammlung gucken, wann für welches x

$\begin{eqnarray*} \cos x = -1 \end{eqnarray*}$

12.02.2005, 17:36

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

bitte...gern geschehen smile

smile

12.02.2005, 17:40

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

aha. dann ist x=pi
und wenn ich das dann in die 2. abl. einsetze, kommt 0 raus. also gibt es keine extremwerte, richtig?
und was die wendepunkte betrifft, setze ich f''(x)=0:
$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{4} cos{\frac{x}{2}} =0 \end{eqnarray*}$

cos $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ =0

und jetzt brauch ich wieder so eine beziehung, oder ich kann es auf die art mit dem einheitskreis machen

12.02.2005, 17:43

Nadine1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich tue Buße,

hab`s grad gesehen, dass ich mich verlesen habe. Aber dennoch kann er doch sin (x/2) = 1 substituieren. z = x/2, also ist sin z = o, dann ist

$\begin{eqnarray*} z = \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ und da

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} = z \end{eqnarray*}$ ist, gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ und somit gilt für die Extrema:

$\begin{eqnarray*} x = \pi + 4\pi k \end{eqnarray*}$

da dann bei der 2. Ableitung 0 herauskommt gibt es keine Extremas, oh man bin heut wohl etwas langsam Hammer

Hammer

12.02.2005, 17:43

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \cos x = -1 \end{eqnarray*}$

Erstmal das eine zu Ende

also ist

$\begin{eqnarray*} x = \pm\pi \end{eqnarray*}$

---------------------------------------

altrernativ dazu kannst du aber auch substituieren. habt ihr das schon gemacht verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} &= 0 \end{eqnarray*}$

jetzt $\begin{eqnarray*} u = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

dann kommst du zum gleichen Ergebnis.

Das kannst du jetzt machen. Das geht schneller.

12.02.2005, 17:49

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

klar, wenn ich dann substituiere, komme ich auf:
cos u=0

also folgt: u= $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$
und somit: x= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

12.02.2005, 17:51

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
und somit: x= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

richtig

Freude

.

12.02.2005, 17:55

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst die Beziehung eigentlich nie, NUR dann, wenn in einer Funktion sinus und cosinus vorkommt und du den sinus in den cosinus verwandelst, damit du nur noch 1 Winkelfunktion da stehen hast.

z.b. f(x) = sin(x/2) + cos(x/2)

sin(x/2) + cos(x/2) = 0 | : (cos(x/2))

sin(x/2)/cos(x/2) + 1 = 0

weil gilt: sinx/cosx = tanx

tan(x/2) + 1 = 0
tan(x/2) = -1

und somit hast du nur noch eine Winkelfunktion da stehen und kannst das so machen, wie dein Lehrer es von euch will - mit Einheitskreis...
anders kann man das sowieso nicht lösen. Man muss sich halt immer fragen...bei wieviel Grad ist der tangens -1.
1 ist er bei 45°.
Minus ist er im 2. Quadranten und im 4. Quadranten.

Daher gilt nun für den 2. Quadranten:

180° - 45° = 135°
Bei 135° ist der Tangens -1 und alle weiteren Kreisumdrehungen...also 135 + 360°, 135 + 2*360° usw...

und für den 4. Quadranten gilt:
360° - 45° = 315° + alle weiteren Kreisumdrehungen

aber die Winkel muss man eben ins Bogenmaß umrechnen:

daher:

180° - 45° = pi - pi/4 = 3pi/4 + 2pi * n

und nun weiß man, dass das, was unter dem Tangens gestanden ist, nämlich x/2 >> 3pi/4 + 2pi * n enspricht und kann eine Gleichung machen:

x/2 = 3pi/4 + 2pi*n | ganze Gleichung mal 2

x = 3pi/2 + 2pi * 2n

Und das macht man dann mit der 2. Lösung ( die vom 4. Quadranten) auch.

verstehst?
Wichtig dabei ist, dass man sich immer zuerst fragt, in welchen Quadranten die Winkelfunktion Minus oder Plus ist. Denn man bekommt immer 2 Lösungen raus. Außer bei Spezialfällen, wie z.b. sinx = 1...denn es gibt nur einen Winkel, bei dem der Sinus +1 ist - nämlich bei 90°.
Bei 270° wäre er -1.
Man muss sich eben mit dem Einheitskreis auskennen.

Zusatz:

Bei rein trigonometrischen Funktionen brauchst du keine Wendepunkte berechnen und ersparst dir so die 2. Ableitung und die Null-Setzung, weil die Wendepunkte zugleich die Nullstellen sind.

lg kiki

12.02.2005, 17:56

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

eben, die sache mit dem intervall macht mir immer am meisten probleme. mein lösungsheft sagt nämlich, dass da noch - $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rauskommen soll. aber wie komm ich da drauf? verwirrt

verwirrt

12.02.2005, 18:14

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

@kikira
Wenn du jetzt noch den Formeleditor benutzt, kann man deine Beiträge auch besser lesen unglücklich

unglücklich

...

@lonesome-dreamer
Das liegt daran, dass

$\begin{eqnarray*} \sin(\pi) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(-\pi) = 0 \end{eqnarray*}$

Das müsste auch in deiner Formelsammlung stehen verwirrt

verwirrt

Da das beides im Intervall $\begin{eqnarray*} [-2\pi|2\pi] \end{eqnarray*}$ liegt, musst du auch beides einschließen.

12.02.2005, 18:22

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

cool, jetzt hab ich es verstanden. vielen dank euch allen. Freude

Freude

smile

LG dreamer :-))

12.02.2005, 18:23

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

bidde schön Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »