Monotonieuntersuchung erklären!

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13.02.2005, 10:13	Mrs. Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonieuntersuchung erklären! Hallo, sorry wenn ich nerve, aber ich hab echt keine Ahnung, wie ich vorgehen muss, wenn ich eine Expotentialfunktion auf ihr Monotonieverhalten testen soll! Bitte helft mir! Ich schreibe nächste Woche Klausur und brauch das dringend!!! Welche Werte muss ich immer in die 1. Ableitung einsetzen? Bitte zeigt mir das doch mal an einem Beispiel einer e-Funktion! danke
13.02.2005, 11:05	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieuntersuchung erklären! Wir sollten zwar keine kompletten Lösungen liefern, aber ich mach jetzt mal ein Beispiel (musst Du das allgemein können oder nur mit eulerschen Funktionen?): $\begin{eqnarray} f(x)=e^x-x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=e^x-1 \end{eqnarray}$ 1. Nullstellensuche der Ableitung: $\begin{eqnarray} e^x-1=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} e^x=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\ln(1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ 2. Was passiert links von der Nullstelle, was rechts? Links: Einfach einen Wert im Minusbereich einsetzen. $\begin{eqnarray} f'(-1)=e^{-1}-1 \end{eqnarray}$ Dieser Wert ist negativ. Rechts: Wert einsetzen, der grösser als 0 ist. $\begin{eqnarray} f'(1)=e-1 \end{eqnarray}$ . Dieser Wert ist größer als positiv. Also ist die Funktion nicht monoton. Nun ein Beispiel für eine monotone Funktion. $\begin{eqnarray} f(x)=e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^x\neq0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ist immer positiv! Also ist sie streng monoton steigend! Poste nächstes Mal deine Lösungswege, damit wir dir konkreter helfen können. Gruss
13.02.2005, 11:11	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieuntersuchung erklären! Bei Monotonie geht es darum, zu zeigen, von wo bis wo die Kurve monoton steigend und von wo bis wo sie monoton fallend ist. Von -unendlich bis zum x-Wert des 1. Hochpunktes ist sie streng monoton steigend, von dort bis zum x-Wert des nächsten Tiefpunktes ist sie streng monoton fallend....bis zum nächsten Hochpunkt ist sie wieder steigend und so weiter und so fort. Daher berechnet man mal zuerst die Extremwerte und überprüft, welcher Hochpunkt und welcher Tiefpunkt ist ( x vom Extremwert in f''(x) einsetzen, wenn > 0 , dann war das ein Tiefpunkt, wenn < 0, dann ein Hochpunkt). Und dann kannst du die Intervalle aufschreiben, von wo bis wo fallend, bzw. steigend: ]-unendlich; x(1. Extremwert[ ....streng monoton steigend(od. fallend) ]1. Extremwert bis nächster Extremwert[ streng monoton blabla ]x(letzter Extremwert) ; + unendlich[ streng monoton blabla ] diese Klammer bedeutet, dass genau der Wert, der da steht, nicht mehr dazu gehört ]8 ; 10] >> 8 < x =< 10 d.h...alle Zahlen ab 8 bis einschließlich 10 der Extremwert darf nicht dabei sein, denn das ist ja ein Punkt, an dem die Steigung 0 ist....das heißt, dort ist die Kurve weder fallend, noch steigend. Ich weiß aber nicht, ob ihr beweisen müsst, dass die Kurve streng monoton fallend, bzw. steigend ist, denn dann muss man einen x-Wert vor dem Hochpunkt in die 1. Ableitung einsetzen und wenn da eine positive Zahl für die Steigung rauskommt, dann ist die Kurve steigend in diesem Intervall. Ist sie im fallenden Intervall minus, so ist das der Beweis für ein fallendes Intervall. lg kik i edit: @Frooke Ist die Monotonieuntersuchung nicht so, dass man die Intervalle angibt? Zumindest bei uns in Ö wird das immer so verlangt. Ist die Kurve nur dann monoton, wenn sie insgesamt monoton ist? lg kiki
13.02.2005, 11:25	Mrs. Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieuntersuchung erklären! ja, ich muss testen "ob streng monoton fallend, bzw. steigend" oder: "Untersuchen sie das Monotonieverhalten" aber die bedingung ist doch immer entw. f`(x) >0. bzw. f`(x)<0 das heisst doch: ich setze in meine Abl. für x Zahlen ein, die entweder größer/kleiner als null sind, oder? wie wäre es denn bei dieser Aufgabe: $\begin{eqnarray} (1 - 0,5x) e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ edit: latex-Code verbessert (MSS)
13.02.2005, 11:35	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieuntersuchung erklären! @ Kiki Ihr Österreicher habt wohl recht (seid ja auch besser im Skifahren als wir Schweizer ) mit der Monotonieuntersuchung; Nein, ich weiss nicht wie das offiziell ist, aber es macht durchaus Sinn, die Monotonie auf Intervallen zu prüfen, das ist ja exakter als nur die Betrachtung der ganzen Funktion. Wir mussten in der Schule «nur» bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend war und haben das nie so exakt gemacht wie ihr. Mrs. Mulder scheint das ja auch so zu machen, aber deine Methode wäre eigentlich schon sinnvoller... LG Frooke @ Mrs. Mulder Du musst nicht x, die kleiner oder grösser als null sind einsetzen... Dich interessiert, ob f'(x)>0 oder f'(x)<0 usw. Nicht x>0 oder x<0.... Zu deiner Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=(1-0.5x)e^{0.5x} \end{eqnarray}$ Poste doch bitte mal deine erste Ableitung!
13.02.2005, 11:44	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieuntersuchung erklären! Hmm...jetzt weiß ich eigentlich noch immer nicht, wie das Ms. Mulder machen muss..aber egal...ich erklär mal was anderes, wo ich das Gefühl hab, dass es eigentlich daran am Verständnis scheitert. Jede Kurvengleichung....f(x) = blabla...ist bloß eine Formel, sodass du dir jeden beliebigen Punkt, der auf der Kurve drauf liegt, berechnen kannst. Da jeder Punkt eine x und eine y-Koordinate hat, muss nun in dieser Formel ein x und ein y stehen. f(x) ist bloß eine andere Schreibweise für die y-Koordinate eines Punktes, du könntest stattdessen auch y hinschreiben. Die Kurvengleichung ist dazu verpflichtet, dir, wenn du für x irgendeine Zahl einsetzt, die dazugehörige y-Koordinate zu sagen, damit du einen PUnkt der Kurve kennst. f'(x) ist bloß eine andere Schreibweise für die Steigung der Tangente in einem Punkt der Kurve. Wenn du in irgendeinem Punkt der Kurve eine Tangente einzeichnest, so hat diese Tangente die Steigung f'(x). f'(3) bedeutet, dass du dir die Steigung der Tangente am Punkt (3 / f(3)) berechnen willst. Wenn diese Tangente in irgendeinem Punkt der Kurve eine positive Steigung hat, so bedeutet das, dass die Kurve ansteigt. Hat sie eine negative Steigung, so bedeutet das, dass sie fällt. An jedem Hoch und Tiefpunkt ist die Tangente parallel zur x-Achse und hat daher die Steigung 0. Wenn du daher für f'(x) Null einsetzt, so kriegst du die x-Koordinaten jener Punkte, in denen die Tangente die Steigung 0 hat. Und das sind dann eben die Extremwerte. Deswegen setzt man ja f'(x) = 0, um die Extremwerte rauszukriegen. Die Monotonie ändert sich am Hochpunkt oder am Tiefpunkt. Wenn du die Steigung eines Punktes, der davor liegt und die eines Punktes, der danach liegt, berechnest, so siehst du, ob sich die Monotonie ändert oder nicht. Hoff, das war ein bisserl verständlich... lg kiki edit: @frooke DAbei seid doch ihr Schweizer die Obergenauen, hihi und wir Österreicher die immer sagen: jaaa mei...des is halt net so genau.... lg kiki
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13.02.2005, 14:29	Mrs. Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieuntersuchung erklären! die erste Ableitung ist: -0,25xe^0,5x @frooke: JA genau, so wie du das sagst, so ist das bei uns verlangt. Aber genau diesen Punkt check ich nicht, eben das f`>0 usw. und nicht entscheidend ist, dass x größer bzw. kleiner als 0 ist!!!
13.02.2005, 14:56	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: Wenn Du x>0 und x<0 einsetzt, kriegst du Funktionswerte rechts bzw. links vom Ursprung. Soweit in Ordnung? Wenn du f(x)>0 und f(x)<0 betrachtest, siehst Du, wo die Funktion positiv und wo sie negativ ist. Nun weisst Du, dass die Ableitung die Steigung der Funktion darstellt. Also musst du f'>0 und f'<0 prüfen. Zu deinem Beispiel: Deine Ableitung ist korrekt Yeah! Nun prüfst Du die Nullstellen deiner Ableitung: $\begin{eqnarray} -0.25xe^{0.5x}=0 \end{eqnarray}$ Dies ist ein Produkt, also wird es null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. $\begin{eqnarray} e^{0.5x} \end{eqnarray}$ wird nie null, also muss $\begin{eqnarray} -0.25x=0 \end{eqnarray}$ , also muss x=0. Die Funktion hat 1 Nullstelle. Nun prüfst Du das verhalten links von der Nullstelle und auch rechts davon. Links ergibt sich ein positives Resultat, also f'(k)=positiv für k<0. Rechts hingegen gibt es etwas negatives. Nun kannst du sagen, dass die Funktion von Minusunendlich bis 0 monoton steigend, und von 0 bis unendlich monoton fallend ist. Das wäre Kikis Methode. Für deine Fragestellung reicht es aber zu sagen, dass die Funktion nicht monoton ist... Hoffe, dass Dir das hilft... LG
13.02.2005, 17:34	Horschie	Auf diesen Beitrag antworten »
argh verdammt, daß hätte ich am Sa für Mathe 1 gebraucht

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