Anwendung / Nutzen der Integralrechnung

13.02.2005, 11:16

para

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Anwendung / Nutzen der Integralrechnung

Hallo,

nachdem wir jetzt in der Schule mit der Integralrechnung fast durch sind, ist es an mir "hängengeblieben" (ne ne, macht man doch gerne ;)) nach den Ferien mit einem Vortrag meinem LK Mathe nahezubringen, wozu man das ganze denn praktisch überhaupt nutzen kann.

Mir sind auch schon eine Menge Ideen gekommen, nur leider haben die praktisch alle mit Physik zu tun. Und da nicht alle Physik als Leistungskurs bzw. manche gar kein Physik mehr machen, wäre es schön noch ein paar Anwendungen außerhalb der Physik zu haben, um das ganze etwas abwechslungsreicher zu gestalten.

Hätte da jemand Vorschläge für Anwendungen in anderen Bereichen?

Danke,
para

13.02.2005, 11:26

Frooke

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Es gibt wahnsinnig viele Anwendungsbereiche für die Integralrechnung: So z.B. die Berechnung von Rotationskörpern, dann viele Beispiele aus den Naturwissenschaften (hast Recht, dass dabei viel Physik ist) usw. Aus welchem Gebiet wünschst du eine Aufgabe?

13.02.2005, 11:45

para

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Natürlich kann man Integralrechnung für enorm viele Dinge benutzen, aber diese sind eben meist technisch-physikalischer Natur. Mir ist noch nichts Richtung Biologie / Chemie (was alternative Leistungskurse zu Physik wären) oder vielleicht sogar was für's (mehr oder weniger) tägliche Leben eingefallen.

13.02.2005, 12:11

Frooke

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Mist, ich hab mein Buch mit den Aufgaben in der Schule liegen lassen. Dort gäbs was... Aber auswendig fällt mir fast nix ein... Sorry...
Ausser etwas improvisiertes aus der Biologie:

Hat eine Bakterienkultur eine Wachstumsfunktion $\begin{eqnarray*} W(t) \end{eqnarray*}$ , dann ist das Integral der Wachstumsfunktion der Bestand der Bakterien... usw.

13.02.2005, 15:24

iammrvip

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Integralrechung ist unentbärlich für das Lösen von Differenzialgleichungen.

Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, die die Funktion selbst enthalten kann, aber mindestens eine Ableitung dieser Funktion (y', y" usw.) enthält.

Bsp.: $\begin{eqnarray*} y' = y, ~y = y(x) \end{eqnarray*}$

Um die Gleichung zu lösen, brauchst man die Integralrechung. Wir benutzen dafür das Verfahren der Trennung der Veränderlichen(/Variablen). D.h. wir isolieren alle gleichen Variablen auf jeweils eine Seite der Gleichung und integrieren danach. Dabei ersetzen wir $\begin{eqnarray*} y' = \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$ Also:

$\begin{eqnarray*} y' &= y \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= y \\ \frac{1}{y}\mathrm dy &= \mathrm dx \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir alle Veränderlichen auf eine Seite gebracht und können integrieren.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{y}\mathrm dy &= \int\mathrm dx \\ \ln|y| + C_1 &= x + C_2 \\ \ln|y| &= x + C_2 - C_1 \end{eqnarray*}$

Die Integrationskonstanten fassen wir zu einer zusammen: $\begin{eqnarray*} C_2 - C_1 = C_3 \end{eqnarray*}$ und stellen nach y um. Um den Betrag wegzukriegen, schreiben wie $\begin{eqnarray*} \pm \mathrm e^{C_3} \end{eqnarray*}$ , was der gleichen Bedeutung entspricht.

$\begin{eqnarray*} \ln|y| &= x + C_3 \\ |y| &= \mathrm e^{x + C_3} \\ y &= \mathrm e^x \left(\pm\mathrm e^{C_3}\right) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \pm\mathrm e^{C_3} \end{eqnarray*}$ auch eine "Integrationskonstante" ist vereinfachen wir dies einfach noch zu $\begin{eqnarray*} \pm\mathrm e^{C_3} = C \end{eqnarray*}$ und erhalten somit die allgemeine Lösung der DGL:

$\begin{eqnarray*} y(x) = C\mathrm e^x \end{eqnarray*}$

Das wäre ein Beispiel auf der höheren Mathematik.

13.02.2005, 16:09

para

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Zitat:

Original von iammrvip
Integralrechung ist unentbärlich für das Lösen von Differenzialgleichungen.

Danke, ich hatte meine Kurslehrerin schon gefragt, ob ich was in der Richtung einbauen sollte, aber sie meinte das kommt dann erst als nächstes im Unterricht. (Warum sehe ich da gerade einen weiteren Vortrag auf mich zukommen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Leider wäre das ja auch eine mathematische Anwendung, die - soweit ich das momentan überblicken kann - auch eher in der Physik Anwendung finden dürfte. Mein letzter Vortrag (Anwendung der Differentialrechnung Big Laugh

Big Laugh

) war schon ziemlich physiklastig, eigentlich wollte ich das diesmal etwas abwechslungsreicher gestalten ...

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13.02.2005, 18:17

etzwane

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die Berechnung der Bogenlängen von Kurven ist z.B. eine Anwendung der Integralrechnung

13.02.2005, 18:45

para

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Zitat:

Original von etzwane
die Berechnung der Bogenlängen von Kurven ist z.B. eine Anwendung der Integralrechnung

Daran hatte ich auch schon gedacht, aber gibt es dafür eine praktische Anwendung? Klar, in der Physik kann man damit wieder z.B. die Bahnlänge einer Wurfkurve bestimmen - aber eigentlich suche ich ja ein Beispiel wo sich jemand der da zuhört (und nicht Physik LK macht) sagt: "hey, dafür kann man das auch benutzen, und nicht nur für den unverständlichen Physik-Krams".

Ich habe ja selbst mitbekommen, wie rar solche Anwendungen gesät sind, trotzdem danke für die Vorschläge so weit.

13.02.2005, 19:09

AD

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Zitat:

Original von para
Ich habe ja selbst mitbekommen, wie rar solche Anwendungen gesät sind,

Nur deshalb, weil du Differenzialgleichungen als "Hauptlieferanten" kategorisch ablehnst - da gibt es nämlich Beispiele wie Sand am Meer.

13.02.2005, 19:28

Leopold

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Die Ableitungsfunktion der Einkommensteuerfunktion heißt Grenzsteuerfunktion. Umgekehrt ist die Einkommensteuerfunktion eine Integralfunktion der Grenzsteuerfunktion.

Es bezeichne

$\begin{eqnarray*} x = \text{Einkommen in Euro} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \operatorname{ESt}(x) = \text{Einkommensteuer zum Einkommen } x \text{ in Euro} \end{eqnarray*}$

Zur Zeit gilt der folgende Tarif (siehe hier):

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ESt}_{\text{aktuell}}(x) \ = \ \begin{cases} 0 \; , & \text{falls } 0 \leq x \leq 7664 \\ \left( 793,\!1 \cdot \frac{x - 7664}{10000} + 1600 \right) \cdot \frac{x - 7664}{10000} \; , & \text{falls } 7664 < x \leq 12739 \\ \left( 265,\!78 \cdot \frac{x - 12739}{10000} + 2405 \right) \cdot \frac{x - 12739}{10000} + 1016 \; , & \text{falls } 12739 < x \leq 52151 \\ 0,\!45x - 8845 \; , & \text{falls } x > 52151 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Grenzsteuerfunktion ist, wie oben schon festgehalten,

$\begin{eqnarray*} \operatorname{GSt}_{\text{aktuell}}(x) = \operatorname{ESt}'(x) \end{eqnarray*}$

Sie ist bis auf die 3 Stellen, an denen die Stücke zusammengefügt werden, definiert und offenbar stückweise linear. Aus ihr kann man mittels

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ESt}_{\text{aktuell}}(x) \ = \ \int_0^x~\operatorname{GSt}_{\text{aktuell}}(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

die Einkommensteuerfunktion zurückgewinnen.

Zur Zeit geht ja die politische Diskussion darüber, den Tarif zu vereinfachen. In der Diskussion stehen die Modelle von Kirchhof (ehemaliger Bundesverfassungsrichter), Merz (CDU) und Solms (FDP).

Als Beispiel das Kirchhofsche Modell:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{GSt}_{\text{Kirchhof}}(x) \ = \ \begin{cases} 0 \; , & \text{falls } x \leq 8000 \\ 0,\!15 \; , & \text{falls } 8000 < x \leq 13000 \\ 0,\!20 \; , & \text{falls } 13000 < x \leq 18000 \\ 0,\!25 \; , & \text{falls } x > 18000 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie lautet also die Einkommensteuerfunktion hier?

Du kannst ja einmal die in der Diskussion stehenden Tarife vergleichen. Zahlen dazu wirst du im Internet finden. Dann kannst du dir auch selbst ein eigenes Modell für die Grenzsteuer entwerfen und dir daraus die zugehörige Einkommensteuerfunktion berechnen.

13.02.2005, 20:17

para

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nur deshalb, weil du Differenzialgleichungen als "Hauptlieferanten" kategorisch ablehnst - da gibt es nämlich Beispiele wie Sand am Meer.

Wie gesagt - es liegt nicht direkt an mir, aber ich kann ja schlecht 'nen Vortrag über etwas halten, das nicht gewünscht / erst später noch behandelt wird.

Zitat:

Original von Leopold
Die Ableitungsfunktion der Einkommensteuerfunktion heißt Grenzsteuerfunktion. Umgekehrt ist die Einkommensteuerfunktion eine Integralfunktion der Grenzsteuerfunktion.

Das sieht gut aus - ich muss mir das nochmal näher ansehen, aber auf den ersten Blick macht das einen wirklich vielversprechenden Eindruck. Danke.

13.02.2005, 20:39

iammrvip

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Zitat:

Original von para
Danke, ich hatte meine Kurslehrerin schon gefragt, ob ich was in der Richtung einbauen sollte, aber sie meinte das kommt dann erst als nächstes im Unterricht. (Warum sehe ich da gerade einen weiteren Vortrag auf mich zukommen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Da du keine Pns empfangen willst, frag ich dich mal so.

Gehst du in einen Mathespezialunterricht o.Ä. verwirrt

verwirrt

13.02.2005, 21:04

para

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Zitat:

Original von iammrvip
Gehst du in einen Mathespezialunterricht o.Ä. verwirrt

verwirrt

Naja, zumindest auf eine Schule mit "vertieft mathematisch-naturwissenschaftlichem Profil". Warum?

Wegen der DGLs weiß ich nicht konkret, wann und wie tiefgründig wir das behandeln werden, unsere Lehrerin meinte nur, dass ich mich damit in dem Vortrag nicht speziell beschäftigen soll.
Und das mit dem nächsten Vortrag war eh' nur Spaß - weil man sowohl bei der Integral- als auch in der Differentialrechnung eben viel in der Physik zeigen kann, sind die beiden Vorträge auf mich gefallen - keine Ahnung warum Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

13.02.2005, 21:11

iammrvip

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Weil du "erst" 16 bist und ihr schon in der Schule bei der Integralrechung seid. verwirrt

verwirrt

Ich mein MSS oder ich war mit schon 16 auch schon dort, auch schon bei DGLen, aber in der Schule fangen wir erst nach den Ferien damit an verwirrt

verwirrt

(also ich

smile

)

13.02.2005, 21:24

para

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Zitat:

Original von iammrvip
Weil du "erst" 16 bist und ihr schon in der Schule bei der Integralrechung seid. ?(

Die Anomalie mit den 16 liegt wohl an mir :) - Jedenfalls ist Analysis in der 11. Klasse doch eigentlich - in Ländern mit 8-Jahre Abi - normaler Lehrplan, oder? (Wenn ich mich aus dem chemikerboard recht erinnere bist du doch auch aus Sachsen).

13.02.2005, 21:26

iammrvip

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Japp, schon klar, hab nur überlegt, weil ich ja schon 18 werde und auch 11. bin. Aber ich glaub wir haben auch noch Leutchen die 16 sind Hammer

Hammer

Also DGL ist ja in Sachsen nur Zusatzstoff, wenn ihr Glück hab kommst dran. Ich denke mal bei uns nicht, wenn ich keinen Vortrag machen darf.... traurig

traurig

13.02.2005, 22:21

swerbe

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beispiele der anwendung der integralrechnung wäre zb:

gewöhnliche, wie auch partielle (mehrere veränderliche) differentialgleichungen

rotationskörper

mit hilfe der integralrechnung lässt sich auch die formel für den INHALT EINES (des) EINHEITSKREISES herleiten

bogenlänge einer ebenen kurve

berechnung des schwerpunktes eines homogenen rotationskörper

...

13.02.2005, 22:55

reima

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Zu den Rotationskörpern könnte man sich eine schöne Anwendung ausdenken. Da kann man ja mit Hilfe der Integration das Volumen berechnen. Ein Hersteller von Trinkgläsern könnte so z.B. in der Entwurfsphase rausfinden, ob in sein geplantes Sommermodell 2005 auch wirklich 0,2 Liter reinpassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.02.2005, 02:04

Seimon

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Du könntest als Beispiel auch einen PI-Regler zur Temperaturegelung (Klimaanlage: Temperatur angeben und die Klimaanlage heizt/kühlt zu der gewünschten Temperatur) anführen ohne näher darauf einzugehen wie das genau funktioniert smile

smile

15.02.2005, 19:55

para

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Wie funktioniert so ein PI-Regler denn genau? Der sitzt doch nicht da und integriert die Kühlleistung, oder? LOL Hammer

LOL Hammer

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