Spiegelung

13.02.2005, 17:26	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung Hallo! Kann mir vielleicht jemand bei folgender Aufgabe helfen: Für $\begin{eqnarray} X=(X_1,X_2,X_3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y=(Y_1,Y_2,Y_3) \epsilon \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ sei das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ definiert als $\begin{eqnarray} \Phi (X,Y) := X_1Y_1+(X_2+X_3)(Y_2+Y_3)+X_3+Y_3 \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Matrix der Spiegelung an $\begin{eqnarray} U:=<(1,0,0),(0,1,0)> \end{eqnarray}$ bezüglich der Standardbasis. Danke!
13.02.2005, 18:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst sicher $\begin{eqnarray} \Phi (X,Y) := X_1Y_1+(X_2+X_3)(Y_2+Y_3)+X_3Y_3 \end{eqnarray}$ .
13.02.2005, 18:15	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, ich habe noch mal nachgesehen, aber es stimmt so wie ich es oben geschrieben habe. kannst du mir denn trotzdem helfen?
13.02.2005, 21:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \Phi (X,Y) = X_1Y_1+(X_2+X_3)(Y_2+Y_3)+X_3+Y_3 \end{eqnarray}$ ist kein Skalarprodukt, weil es die Eigenschaften eines Skalarprodukts verletzt! Z.B. muss $\begin{eqnarray} \Phi (X,X) \geq 0 \end{eqnarray}$ für alle X gelten, für X = (0, 0, -1) gilt nach deiner Definition aber $\begin{eqnarray} \Phi (X,X) = -1 < 0 \end{eqnarray}$ , Widerspruch.
14.02.2005, 17:55	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
so steht es aber da! Aber warum kann es kein Skalarprodukt sein? Bei mir im Skript steht, dass ein positives definites Skalarprodukt die BEdingung $\begin{eqnarray} \Phi (V,V) >0 \end{eqnarray}$ erfüllen muss, aber nicht irgendein Skalarprodukt.
14.02.2005, 18:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine mich zu erinnern, daß manche Autoren auch diese allgemeinere Definition eines Skalarprodukts verwenden. Üblicher dürfte aber Arthurs Definition sein.
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14.02.2005, 18:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss es denn wenigstens bilinear sein, d.h., $\begin{eqnarray} \Phi (aX,bY) = ab\Phi (X,Y) \end{eqnarray}$ für alle reellen a,b ? Da habe ich auch noch Gegenbeispiele parat. Oder stellst du überhaupt keine Anforderungen an das Skalarprodukt?
14.02.2005, 18:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh jeh! Bilinear und symmetrisch sollte es wohl schon sein. Na, zumindest das letztere ist es doch. Und auch nichtausgeartet sollte es natürlich sein, also gleich Null nur für den Nullvektor. Und da sieht es ja auch schlecht aus (z.B. (1,2,-1)). Wohl doch ein "Druckfehler" in der Definition.
14.02.2005, 19:26	Jule84	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich weiß nicht, aber vielleicht habt ihr ja recht. Ich bin halt nicht so fit in Mathe inletzter Zeit. Kann mir denn einer von euch erklären wie eine Spiegelung im allgemeinen funktioniert?

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