Hilfe bei Zwischenwertsatz - Seite 2

Neue Frage »

14.02.2005, 07:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiß gar nicht, was du damit willst Unser Ziel ist es, einen x-Wert zu finden, sodass seine Ableitung 0 wird. Wenn $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ne Minimalstelle ist, dann ist natürlich $\begin{eqnarray} f'(x_0)=0 \end{eqnarray}$ !!! Dann wären wir schon fertig. Jetzt der zweite Fall: $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist keine Minimalstelle. Dann muss es doch ein $\begin{eqnarray} x_1\neq x_0 \end{eqnarray}$ geben, sodass $\begin{eqnarray} f(x_1)<f(x_0) \end{eqnarray}$ . Jetzt gibt es da noch zwei verschiedene Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} x_1<x_0 \end{eqnarray}$ (1. Zeichnung) oder $\begin{eqnarray} x_1>x_0 \end{eqnarray}$ (2. Zeichnung) Jetzt musst du bei beiden versuchen, mal das $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ in meiner Zeichnung mathematisch zu finden! (Zwischenwertsatz!)
14.02.2005, 07:51	Susu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Zeichnung: doch hab ich echt langsam Angst nur mist daher zulabbern. Bin total Unsicher. Warum soll x0 jetzt beim zweiten Fall, keine Maximalstelle haben? Warum ist da jetzt von Maximalstelle die rede?
14.02.2005, 07:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, hab mich verschrieben. Meinte Minimalstelle. Also Maximalstelle kanns natürlich auch sein, dann ist aber wieder $\begin{eqnarray} f'(x_0)=0 \end{eqnarray}$ . Und es ist doch klar, dass $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ keine Minimalstelle oder Maximalstelle sein muss, kann doch auch ein ganz "normaler Punkt" sein. Also guck mal in die Zeichnung, z.B. die 1. Jetzt suchst du noch ein $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_2)=f(x_0) \end{eqnarray}$ , damit du den Satz von Rolle anwenden kannst. Es gilt doch $\begin{eqnarray} f(x_1)<f(x_0)<f(a) \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du doch den Zwischenwertsatz auf $\begin{eqnarray} (a,x_1) \end{eqnarray}$ anwenden!
14.02.2005, 08:03	Susu	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das einfachste wäre natürlich, wenn die f'(x2)=0. Dann wäre ja f(x2)=f(x0) Und laut Zwischenwertsatz existiert dann ein x1 mit f(x1)=0
14.02.2005, 08:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das is leider schon wieder völlig falsch. Warum folgt aus $\begin{eqnarray} f'(x_2)=0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} f(x_2)=f(x_0) \end{eqnarray}$ ?? Und das mit dem $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ stimmt auch nicht Guck mal in die 1. Zeichnung: Wir haben ja schon das $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ . Nach dem Zwischenwertsatz gibt es doch dann ein $\begin{eqnarray} x_2\in (a,x_1) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(x_2)=f(x_0) \end{eqnarray}$ ist. In der 2. genauso: Da gibt es nach dem Zwischenwertsatz ebenfalls ein $\begin{eqnarray} x_2\in (x_1,b) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(x_2)=f(x_0) \end{eqnarray}$ gilt. Insgesamt gibt es für beide Fälle (Zeichnungen) also nach dem Satz von Rolle ein $\begin{eqnarray} x_3\in (x_2,x_0) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_3\in (x_0,x_2) \end{eqnarray}$ (je nachdem ob $\begin{eqnarray} x_2<x_0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x_2>x_0 \end{eqnarray}$ ), sodass $\begin{eqnarray} f'(x_3)=0 \end{eqnarray}$ . Fertig für den Fall $\begin{eqnarray} f'(a)<0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'(b)>0 \end{eqnarray}$ . Klar? Jetzt musst du noch beweisen, dass es auch gilt, wenn $\begin{eqnarray} f'(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'(b) \end{eqnarray}$ beliebig (aber ungleich) sind.
14.02.2005, 08:20	Susu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt. Anhand der Gleichung ist das sehr plausibel. Doch hab ich keine Ahnung wie ich das mit dem beliebig sein, zeigen soll. Haben wir nicht schon die Existenz eines epsilon aus ]a,b[ mit f'(epsilon)=0 gezeigt?
Anzeige

14.02.2005, 08:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das haben wir. Aber das war doch nur ein Tipp bei der Aufgabenstellung, das ist doch nur ein Spezialfall. Jetzt müssen wir doch noch beweisen, dass wenn $\begin{eqnarray} f'(a)\neq f'(b) \end{eqnarray}$ ist, dass $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ jeden Wert zwischen diesen beiden Werten annimmt. Wir können erstmal $\begin{eqnarray} f'(a)<f'(b) \end{eqnarray}$ annehmen. Wenn jetzt $\begin{eqnarray} \eta\in (f'(a),f'(b)) \end{eqnarray}$ ist, dann müssen wir ja beweisen, dass es ein $\begin{eqnarray} x_3\in (a,b) \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} f'(x_3)=\eta \end{eqnarray}$ gilt. Das heißt aber auch $\begin{eqnarray} f'(x_3)-\eta=0 \end{eqnarray}$ . Jetzt definierst du einfach ne neue Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , und zwar so: $\begin{eqnarray} g(x)=f(x)-\eta x \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} g'(x)=f'(x)-\eta \end{eqnarray}$ Auf $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ kannst du das von uns Bewiesene anwenden. Mach dir klar, dass 1. $\begin{eqnarray} g'(a)<0 \end{eqnarray}$ und 2. $\begin{eqnarray} g'(b)>0 \end{eqnarray}$ gelten. Dann kannst du das anwenden, was wir bewiesen haben, nämlich dass es jetzt ein $\begin{eqnarray} x_3\in (a,b) \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} g'(x_3)=0 \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} g'(x_3)=f'(x_3)-\eta \end{eqnarray}$ folgt aber auch $\begin{eqnarray} f'(x_3)=\eta \end{eqnarray}$ Fertig. Hast du das verstanden?
14.02.2005, 08:34	Susu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe es. Werd es mir jetzt nochmal zu gemüte führen. Vielen Dank für deine Hilfe. Hätte nicht jeder gemacht. Mfg Susu
14.02.2005, 08:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte schön Du solltest dir alles auf jeden Fall nochmal genau angucken, um es wirklich zu verstehen. Schreib dir am besten auch alles nochmal geordnet auf Ciao
15.01.2006, 23:40	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
nabend. ich hab, auch wenn der Beitrag schon etwas älter ist, ne Frage dazu, da ich eine ähnliche aufgabe lösen soll. am ende in der letzten erklärung schreibst MSS, Susu solle sich klar machen, dass $\begin{eqnarray} g'(a)<0 \Leftrightarrow f'(a)<\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g'(b)>0 \Leftrightarrow f'(b)>\mu \end{eqnarray}$ . Wieso das? $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ist doch nur ein beliebiger Wert im Intervall und kann beliebig oft größer und kleiner als $\begin{eqnarray} f'(a) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f'(b) \end{eqnarray}$ werden, oder? geht MSS da nicht davon aus, dass $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ monoton steigend ist? was übersehe ich? grumml...
15.01.2006, 23:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Es ist so: Du sollst zeigen, dass es zu jedem $\begin{eqnarray} \eta\in (f'(a),f'(b)) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x_3\in (a,b) \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} f(x_3)=\eta \end{eqnarray}$ ist. Sei also $\begin{eqnarray} \eta\in (f'(a),f'(b)) \end{eqnarray}$ beliebig, aber fest. Zu diesem festen $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ betrachtet man die Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=f(x)-\eta x \end{eqnarray}$ und erhält die zu beweisende Aussage. Das wichtige daran ist, dass man $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ als fest voraussetzen kann. Da man das für jedes feste $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ aus dem Intervall so machen kann (deswegen ja das "beliebig"), ist man fertig. Gruß MSS

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Hilfe bei Zwischenwertsatz - Seite 2

Verwandte Themen