Zentrum eines Ringes |
14.02.2005, 17:04 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zentrum eines Ringes folgende Aufgabe lässt mich nicht los: Zeigen Sie, dass die zentralen Elemente eines Ringes mit 1, einen kommutativen Unterring bilden. Ein Element heißt zentral, wenn gilf für alle . Dieser Ring heißt auch das Zentrum von . Was gilt es denn jetzt alles zu beweisen. Die Kommutativtät ist ja per Definition schon bewiesen, was wird denn nicht vom "Mutterring" vererbt? Gruß, Samuel |
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14.02.2005, 17:07 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
na z.b das es bzgl. "+" überhaupt noch eine gruppe ist..... wenn x im zentrum liegt, liegt dann auch das additiv inverse drin? |
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14.02.2005, 17:27 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hab ich dafür überhaupt genug Informationen? Gruß, Samuel |
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14.02.2005, 17:40 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
hmm, muss da mal selbst überlegen, aber ganz allgemein musst du folgende dinge zeigen für einen unterring (das dieser kommutativ ist, ist dann auch nimmer schwer...) sei U die zu untersuchende teilmenge des ringes R a) U ist dann unterring, wenn (U,+) untergruppe von (R,+) b) (U,*) ist untermonoid von (R,*) und insbesondere ist 1_u = 1_r das also ist zu zeigen, aber da muss ich mal noch selbst nachdenken edit: also z.b. die abgeschlossenheit und nichtleerheit bei a) zu zeigen ist recht leicht |
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15.02.2005, 15:13 | eule | Auf diesen Beitrag antworten » |
Na, von den Ringaxiomen vererbt sich die Ass., die Diss. und die Komm. der Addition. Die Komm. das Multiplikation ist laut Def. gegeben. Dass das 0 und 1 Element im Unterring ist, ist trivial. Das additive Inverse: a*r+(-a)*r=(a+(-a))*r=0*r=r*0=r*(a+(-a))=r*a+r*(-a) Auf beiden Seiten a*r abziehen, fertig. Abgeschlossenheit Addition: Seien a,b im Zentrum. r*(a+b)=r*a+r*b=a*r+b*r=(a+b)*r Abgeschlossenheit Mult.: Seien a,b im Zentrum. r*a*b=a*r*b=a*b*r mfg eule |
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