Zentrum eines Ringes

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Zentrum eines Ringes
Hallo zusammen,

folgende Aufgabe lässt mich nicht los:

Zeigen Sie, dass die zentralen Elemente eines Ringes mit 1, einen kommutativen Unterring bilden. Ein Element heißt zentral, wenn gilf für alle . Dieser Ring heißt auch das Zentrum von .

Was gilt es denn jetzt alles zu beweisen. Die Kommutativtät ist ja per Definition schon bewiesen, was wird denn nicht vom "Mutterring" vererbt?


Gruß,

Samuel
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

na z.b das es bzgl. "+" überhaupt noch eine gruppe ist.....
wenn x im zentrum liegt, liegt dann auch das additiv inverse drin?
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich dafür überhaupt genug Informationen?


Gruß,

Samuel
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, muss da mal selbst überlegen, aber ganz allgemein musst du folgende dinge zeigen für einen unterring (das dieser kommutativ ist, ist dann auch nimmer schwer...)

sei U die zu untersuchende teilmenge des ringes R

a) U ist dann unterring, wenn (U,+) untergruppe von (R,+)
b) (U,*) ist untermonoid von (R,*) und insbesondere ist 1_u = 1_r

das also ist zu zeigen, aber da muss ich mal noch selbst nachdenken verwirrt


edit:
also z.b. die abgeschlossenheit und nichtleerheit bei a) zu zeigen ist recht leicht
eule Auf diesen Beitrag antworten »

Na, von den Ringaxiomen vererbt sich die Ass., die Diss. und die Komm. der Addition. Die Komm. das Multiplikation ist laut Def. gegeben. Dass das 0 und 1 Element im Unterring ist, ist trivial. Das additive Inverse:
a*r+(-a)*r=(a+(-a))*r=0*r=r*0=r*(a+(-a))=r*a+r*(-a)
Auf beiden Seiten a*r abziehen, fertig.

Abgeschlossenheit Addition:
Seien a,b im Zentrum.
r*(a+b)=r*a+r*b=a*r+b*r=(a+b)*r

Abgeschlossenheit Mult.:
Seien a,b im Zentrum.
r*a*b=a*r*b=a*b*r

mfg eule
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