Integrationsmethoden

14.02.2005, 19:38

streamilein

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kennst du dich vielleicht auch in der Integral Rechnung gut aus?

Ich hab Integralrechnung eigentlich sehr gut verstanden doch bei

dem Integral x(lnx)^2 hab ich so meine Probleme.

Ich hab es mit Partielle Integration und mit Substitution versucht aber es hat net wirklich hingehauen.

Wie würdest du das lösen?

14.02.2005, 20:04

Seimon

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Zitat:

Original von streamilein
kennst du dich vielleicht auch in der Integral Rechnung gut aus?

Ich hab Integralrechnung eigentlich sehr gut verstanden doch bei

dem Integral x(lnx)^2 hab ich so meine Probleme.

Ich hab es mit Partielle Integration und mit Substitution versucht aber es hat net wirklich hingehauen.

Wie würdest du das lösen?

Du bist am Richtigen weg Freude

Freude

Was kommt nach dem partiell Integrieren raus? und wie kann man dieses neue Integral jetzt lösen?

14.02.2005, 20:19

streamilein

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also nach meiner ersten partiellen Integration kommt dies heraus:

$\begin{eqnarray*} (x*(x(ln x)^2 - 2*x * lnx+2*x))-\int~1(x(ln x)^2-2*x*ln x + 2*x~dx \end{eqnarray*}$

was meinst du dazu?

gibt es einen trick an dem man sieht welches man als u und welchen Term man als v' nehmen soll?

14.02.2005, 20:30

Seimon

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ich seh jetzt nicht ganz durch was du gemacht hast!

ich sag mal was ich gemacht hab und vielleicht kommen wir dann drauf!

ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} \int u'v~dx=uv-\int uv'~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=(ln x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\frac {x^2}2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=\frac{2(ln x)}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x(ln x)^2~dx=\frac{x^2} 2 (ln x)^2-\int x(ln x)~dx \end{eqnarray*}$

14.02.2005, 20:50

streamilein

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also ich habe halt die u und v anderst gemacht deshalb sah das anderst aus.

naja die Ableitung von (ln x)^2 sieht ja logisch aus (äussere mal innere Ableitung) aber ich hab da so ein schlaues Buch (Papula) da sind so Integrale drin wie z.B. (ln x)^2

und das sagt mir das da

x(ln x)^2 - 2x*lnx+2x

rauskommen müsste aber das ist doch nicht das gleiche wie (2(lnx))/x

oder?

14.02.2005, 20:58

Seimon

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beim partiellen Integrieren geht es darum, dass das neue Integral einfacher ist als das alte!

bei deiner Version kommt ja wieder die ursprüngliche Funktion vor d.h. du hast nichts gewonnen unglücklich

unglücklich

(nicht ganz korrekt - du kennst vielleciht die methode wie man cos(x)^2 partiell integriert, wenn du das nicht kennst vergiss es wieder smile

smile

)

Daher schaut man, dass man "lästige Terme" ableitet (v) und die einfachen integriert (u')!

Macht natürlich nur dann Sinn wenn die "lästigen Terme" durch ableiten einfacher werde, aber der ln ist dafür ein Paradebeispiel smile

smile

Zitat:

Original von streamilein
das da

x(ln x)^2 - 2x*lnx+2x

rauskommen müsste aber das ist doch nicht das gleiche wie (2(lnx))/x

dein schlaues Buch integriert! ich leite aber ab! da kommt ned dasselbe raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

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14.02.2005, 21:05

streamilein

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da haste wohl recht. da muss ich das doch grad nochmal anschauen.

Kann man irgendwie grob sagen wenn man partielle Integration, Substitution und wann man Partialbruchzerlegung nimmt?

wie geht man bei der Partialbruchzerlegung bei nur einer Nullstelle vor?

Ich hoffe es sind net zuviel Fragen.

14.02.2005, 21:30

Seimon

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Zitat:

Original von streamilein
Kann man irgendwie grob sagen wenn man partielle Integration, Substitution und wann man Partialbruchzerlegung nimmt?

generell kann mans nicht sagen, erfordert viel übung!

Partialbruchzerlegung hüpft einem eh ins aug wenn der Nenner aus Produkten von Polynomen besteht

Partielle Integration nimmt man wie gesagt wenn einer der Terme durch ableiten einfacher wird

Substitution erfordert die meiste Erfahrung!
Mir fallen dazu nur Integrale der Form $\begin{eqnarray*} \int f(g(x))\cdot g'(x)~dx \end{eqnarray*}$ ein. Da kann man dann z=g(x) substituieren

Zitat:

Original von streamilein
wie geht man bei der Partialbruchzerlegung bei nur einer Nullstelle vor?

Wie meinst das? 1 Nullstelle vom Nenner?

Bitte genauer, wenns geht mit BSP!

14.02.2005, 21:39

streamilein

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ja wenn der Nenner nur eine Nullstelle hat.

Also z.B. bei (2x+1)/x^2-10x+25

weil das nach meinem Verfahren nicht funktionert. da muss man mindestens 2 nullstellen haben

14.02.2005, 21:49

Seimon

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$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x^2-10x+25}=\frac{2x+1}{(x-5)^2} \end{eqnarray*}$

das hat zwei Nullstellen! 5 und 5 smile

smile

nennt sich doppelte Nullstelle!

Partialbruchzerlegung bei mehrfachen Nullstellen im Nenner geht dann so:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x^2-10x+25}=\frac{A}{x-5}+\frac{B}{(x-5)^2} \end{eqnarray*}$

dann ganz normal rechts Hauptnenner bilden und Koeffizientenvergleich!

14.02.2005, 22:35

streamilein

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also hab ich dann:

2x+1 = A(x-5)^2 + B(x-5)

dann sind wir bei z.B. 2 Nullstellen so vorgegangen, dass wir dann einfach die Nullstellen für x jeweils eingesetzt haben und dann haben wir ja A und B herausbekommen. Aber hier kann ich ja jetzt keine Nullstelle einsetzen. Wie macht man es dann?

14.02.2005, 22:53

Seimon

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Hauptnenner ist $\begin{eqnarray*} (x-5)^2 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x^2-10x+25}=\frac{2x+1}{(x-5)^2}=\frac{A}{x-5}+\frac{B}{(x-5)^2}=\frac{A(x-5)+B}{(x-5)^2} \end{eqnarray*}$

Es folgt

$\begin{eqnarray*} 2x+1=A(x-5)+B=Ax-5A+B \end{eqnarray*}$

und weiter:

$\begin{eqnarray*} 2=A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1=-5A+B \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} A=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=11 \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x^2-10x+25}=\frac{2}{x-5}+\frac{11}{(x-5)^2} \end{eqnarray*}$

alles klar wie das geht??

was du aber meinst wie ihr das mit 2 Nullstellen macht ist mir leider unklar!

Das Rechnen geht genau gleich nur du hast als Ansatz halt was anderes! Es gibt 3 Ansätze einen für einfache Nullstellen einen für mehrfache und eine für komplexe!

Den für einfache kennst du: (Bsp mit 4 und 7)

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-7} \end{eqnarray*}$

und der für doppekte ist der den wir hier grad besprechen smile

smile

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-5}+\frac{B}{(x-5)^2} \end{eqnarray*}$

14.02.2005, 23:36

streamilein

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wie kommst du auf A=2

ahso indem du 11 für einsetzt, dann die A´s auf eine Seite bringst und den rest auf die andere und dann durch x teilst und dann ausrechnest.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS)

14.02.2005, 23:47

Seimon

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Ausgehend von

$\begin{eqnarray*} 2x+1=Ax-5A+B \end{eqnarray*}$

machst du einen Koeffizientenvergleich! Das bedeutet
1.) alles was links ohne x steht = alles was rechts ohne x steht!
2.) alles was links mit x steht = alles was rechts mit x steht!
3.) mit x^2 usw...

daher bekommt man:

1.) $\begin{eqnarray*} 1=-5A+B \end{eqnarray*}$

und

2.) $\begin{eqnarray*} 2=A \end{eqnarray*}$

Aus 2.) folgt Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A=2 \end{eqnarray*}$ und

und aus 1.)

$\begin{eqnarray*} B=5A+1=5*2+1=11 \end{eqnarray*}$

15.02.2005, 08:50

Mathespezialschüler

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Geteilt
Bitte für neue Fragen auch ein neues Thema öffnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2007, 16:12

Emilio

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Dopellte partielle Integration
Habt ihr schon mal von der doppelten partiellen Integration gehört?

Wie z.B.: Integral von x^2 * e^-x * dx

11.04.2007, 16:14

Emilio

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Dopellte partielle Integration, Rekursion
Wenn ihr mir helfen könnt bei doppelter Partieller Integration und bei Rekursion, dann bitte an [email protected]

Danke im Voraus

Gruss

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