Teilverhältnis im Trapez

15.02.2005, 14:50

seta

Teilverhältnis im Trapez

Ich komme bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter:

"Vier Vektoren a, b, c und d spannen ein Trapez auf, wobei
a = -3/2 c ist. Vestimmen Sie das Teilverhältnis der Diagonalen."

Für Hilfe wäre ich echt dankbar.

15.02.2005, 15:40

Seimon

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RE: Teilverhältnis im Trapez
Du musst die 2 Diagonalen als Geraden aufstellen und dann miteinander schneiden!

Dazu verwendest du: $\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} , \vec{b} =\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ usw...

noch ein Tipp: leg das Trapez so in ein Koordinatensystem, dass der linke untere Punkt auf 0 liegt und der Vektor a in der x-Achse $\begin{eqnarray*} (a_y=0) \end{eqnarray*}$

15.02.2005, 15:41

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RE: Teilverhältnis im Trapez
Strahlensatz anwenden - zur Not in "vektorieller Verkleidung". Augenzwinkern

15.02.2005, 15:46

seta

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RE: Teilverhältnis im Trapez

Zitat:

Original von Seimon
Du musst die 2 Diagonalen als Geraden aufstellen und dann miteinander schneiden!

Dazu verwendest du: $\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} , \vec{b} =\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ usw...

noch ein Tipp: leg das Trapez so in ein Koordinatensystem, dass der linke untere Punkt auf 0 liegt und der Vektor a in der x-Achse $\begin{eqnarray*} (a_y=0) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich z.B. die Koordinaten von b ausrechnen, wenn b nicht gegeben ist?

Den Strahlensatz kenne ich nicht und ich darf ihn auch nicht anwenden.

15.02.2005, 15:57

Seimon

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RE: Teilverhältnis im Trapez
ich mach mal einen Anfang:
erste Diagonale:

Der Vektor der Diagonale ist $\begin{eqnarray*} (\vec a+ \vec b)=\begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (soweit klar oder? ich hoffe du hast schon eine ordentliche Skizze!)

Jetzt die Gerade aufstellen mit einem Punkt und der Richtung!

Als Punkt bietet sich der linke untere Punkt des Trapez an, den legen wir uns auf (0,0)

Also: $\begin{eqnarray*} \vec{g_1} =\begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da wir das Koordinatensstem so glegt haben das $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ auf der x-Achse liegt und somit $\begin{eqnarray*} a_y=0 \end{eqnarray*}$ ist vereinfacht sich das zu:

$\begin{eqnarray*} \vec{g_1} =\begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ b_y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt bist aber du gefragt! Wink

15.02.2005, 16:00

seta

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Ich habe a = - 3/2 c gegeben. Woher nehme ich dann b, das in deiner Rechnung vorkommt?

15.02.2005, 16:03

Seimon

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gar nicht! du rechnest allgemein und hoffst das das b wegfällt!

(keine sorge es fällt auch weg Augenzwinkern

)

15.02.2005, 16:25

Leopold

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Die Aufgabe ist, wie Arthur schon eingeworfen hat, mit dem Strahlensatz eine Trivialität (X-Figur). Wenn man sie dennoch über Vektoren lösen will, so braucht man dafür kein umgebendes Koordinatensystem, da die Figur ihr eigenes Koordinatensystem mitliefert.

Nennen wir das Trapez $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2} \vec{c} \; , \ \vec{b} = \overrightarrow{BC} \; , \ \vec{c} = \overrightarrow{CD} = -\frac{2}{3} \vec{a} \; , \ \vec{d} = \overrightarrow{DA} \end{eqnarray*}$

Man löst eine solche Aufgabe mit einer geschlossenen Vektorkette, die über den Schnittpunkt der relevanten Strecken läuft, hier über den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ der Diagonalen, z.B. so:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)}\ \ \ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BS} - \overrightarrow{AS} = \vec{o} \end{eqnarray*}$

Jetzt zeichnet man zwei linear unabhängige Vektoren aus - hier bieten sich $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ an - und drückt alle Vektoren in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ nur mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} = \vec{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BS} = \lambda \; \overrightarrow{BD} = \lambda (\text{... Ausdruck in } \vec{a} \text{ und } \vec{b} \text{ ...}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AS} = \mu \; \overrightarrow{AC} = \mu(\text{... Ausdruck in } \vec{a} \text{ und } \vec{b} \text{ ...}) \end{eqnarray*}$

Dann ersetzt man alle Vektoren in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ durch diese Terme, multipliziert aus und sortiert nach $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (\text{... Ausdruck in } \lambda \text{ und } \mu \text{ ...}) \; \vec{a} \ + \ (\text{... Ausdruck in } \lambda \text{ und } \mu \text{ ...}) \; \vec{b} \ = \ \vec{o} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, müssen die Klammern den Wert 0 haben. Jetzt hat man also noch ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Bei dieser konkreten Aufgabe ist das aber ein Riesenaufwand für etwas, was mit dem Strahlensatz in einer Zeile hergeleitet werden kann. Das Verfahren ist erst dann sinnvoll, wenn die Verhältnisse verwickelter sind.

15.02.2005, 16:35

Seimon

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Ich habs mit Vektoren gerechnet, wie ich es oben schon angefangen habe zu beschreiben!

Aufwand ist nicht groß! 2 Geraden allgemein aufstellen und schneiden, wobei das Schneiden sehr einfach wird!

das was ich oben hingeschrieben hab ist bereits mindestens 1/3 der Aufgabe! geschockt

15.02.2005, 16:42

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Das von Leopold angesprochene Gleichungssystem wird noch einfacher, wenn man gleich als Koordinatensystem die offensichtlich linear unabhängigen Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{e}:=\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{f}:=\overrightarrow{BD} \end{eqnarray*}$ wählt.

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