Wurzel 3 genau berechnen

15.02.2005, 18:06	Flip_01	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel 3 genau berechnen Hallo, wie berechne ich Wurzel von 3 "zu Fuß" genau mit einer Anzahl an Nachkommastellen??? Nach Heron? (iterative Prozesse) Vielen Dank
15.02.2005, 18:12	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Intervallschachtelung? den wert beliebig eingrenzen durch immer weitere verkleinerung der intervallgrenzen..... hattest du an sowas gedacht?
15.02.2005, 18:54	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
schau hier mal nach
15.02.2005, 19:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine andere Möglichkeit: Mit Hilfe der Taylorreihe $\begin{eqnarray} \sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{2} \choose k}x^k \end{eqnarray}$ , dabei ist $\begin{eqnarray} {\frac{1}{2} \choose k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(\frac{1}{2}-(k-1)\right) \end{eqnarray}$ (kann man noch vereinfachen). Nun konvergiert diese Reihe aber nur für \|x\|<1, aber dafür gibt es auch noch einen Dreh, z.B. $\begin{eqnarray} \sqrt{3}=\frac{97}{56}\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{9409}}=\frac{97}{56}\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{2} \choose k}\frac{(-1)^k}{9409^k} \end{eqnarray}$ Wie man nun gerade auf $\begin{eqnarray} \frac{97}{56} \end{eqnarray}$ oder ähnliche solche Zahlen kommt, gehört ins Reich der Zahlentheorie. Jedenfalls hat man hier, was die Anzahl der notwendigen zu berechnenden Reihenglieder für eine vorgegebene Stellenzahl n betrifft, lineare Konvergenzgeschwindigkeit. Da aber der Aufwand für diese Langzahloperationen (Addition, Subtraktion; Multiplikation und Division mit "kleinen" natürlichen Zahlen) aber auch linear in n ist, hat man nach der obigen Methode insgesamt zur Berechnung von $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ etwa den Aufwand $\begin{eqnarray} O(n^2) \end{eqnarray}$ .

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