Stammfunktion gesucht

16.02.2005, 13:01

tokitoks

Stammfunktion gesucht

ahoy matrosen!

habe ein kleines problemchen bei einer aufgabe.

die funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=(a²+x²)*e^{-x²-a²} \end{eqnarray*}$

eine kurvendisskusion durchzuführen ist nicht das problem.
dies taucht erst bei aufgabe 2 auf:

gesucht ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }~f_a(x)~dx \end{eqnarray*}$

dabei darf verwendet werden:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }~e^{-x²}~dx = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$

also, stammfunktion suchen:

$\begin{eqnarray*} \int~f_a(x)~dx = \int~(a²+x²)*e^{-x²-a²}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-a²}*\int~(a²+x²)*e^{-x²}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-a²}*(\int~a²*e^{-x²}~dx + \int~x²e^{-x²}~dx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-a²}*(a²*\int~e^{-x²}~dx+\int~x²e^{-x²}~dx) \end{eqnarray*}$

hier kommte ich nicht weiter.
ich schaffe es nicht, $\begin{eqnarray*} e^{-x²} \end{eqnarray*}$ zu integrieren und erst recht nicht $\begin{eqnarray*} x²*e^{-x²} \end{eqnarray*}$
weder mit partieller integration noch mit substitution. andere verfahren kenne ich allerdings nicht.
wäre für einen tipp sehr dankbar.

mfg

toki

16.02.2005, 13:14

Seimon

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RE: Stammfunktion gesucht

Zitat:

Original von tokitoks
ich schaffe es nicht, $\begin{eqnarray*} e^{-x²} \end{eqnarray*}$ zu integrieren

versteh ich nicht du darfst ja:

Zitat:

Original von tokitoks
dabei darf verwendet werden:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }~e^{-x²}~dx = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$

16.02.2005, 13:18

tokitoks

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was verwendet werden darf, ist ja ein bestimmtes integral.
ich suche aber das unbestimmte.... oder steh ich aufm schlauch?

edit: die nächste aufgabe ist übrigens, f_0(x) um die x-achse rotieren zu lassen, und das volumen zu berechnen, dafür brauche ich halt die stammfunktion von x²*e^{-x²}.

16.02.2005, 13:26

Seimon

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RE: Stammfunktion gesucht
$\begin{eqnarray*} \int~e^{-x²}~dx \end{eqnarray*}$ kannst du nicht analytisch angeben!

das führt nur auf die Fehlerfunktion Erf(z)

und die ist genau über dieses Integral definiert:

$\begin{eqnarray*} Erf(z)=\frac 2 {\sqrt {\pi} }\int_0^z~e^{-x²}~dx \end{eqnarray*}$

warum willst du das unbestimmte Integral haben verwirrt

16.02.2005, 13:28

tokitoks

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geht nicht? oke...

dann mal so:

$\begin{eqnarray*} =e^{-a²}*(a²*\int~e^{-x²}~dx+\int~x²e^{-x²}~dx) \end{eqnarray*}$

mit dem vorgegebenen grenzwert kann ich ja dann schreiben:
(also wenn ich beim ersten integral jetzt schon ein bestimmtes draus mache..)

$\begin{eqnarray*} =e^{-a²}*(a²\sqrt{\pi}+\int~x²e^{-x²}~dx) \end{eqnarray*}$

und nun?

16.02.2005, 13:33

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Partielle Integration mit

$\begin{eqnarray*} u'=xe^{-x^2},\quad v=x \end{eqnarray*}$

P.S. (LaTeX-Erziehung): Bitte keine ² im LaTeX, sondern nur ^2 !!!

16.02.2005, 13:42

tokitoks

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$\begin{eqnarray*} \int~x^2*e^{-x^2}~dx = -0,5xe^{-x^2}+0,5 \int~e^{-x^2}~dx+c \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich ja wieder $\begin{eqnarray*} \int~e^{-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

?

16.02.2005, 13:43

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Genau, du hast es!!! Augenzwinkern

16.02.2005, 13:53

tokitoks

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RE: Stammfunktion gesucht
$\begin{eqnarray*} \int~f_a(x)~dx = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-a²}*(a²*\int~e^{-x²}~dx+\int~x²e^{-x²}~dx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-a^2}*((a^2+0,5)*\int~e^{-x^2}~dx-0,5xe^{-x^2}) \end{eqnarray*}$

was sehe ich nicht? verwirrt

edit: ich habs ^^ omg... steh ich aufm schlauch ey ^^

thx ! Big Laugh

16.02.2005, 14:00

Seimon

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du machst:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^{\infty}~x^2*e^{-x^2}~dx = [-0,5xe^{-x^2}]_{-\infty} ^{\infty}+0,5 \int_{-\infty} ^{\infty}~e^{-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

jetz noch Grenzen einsetzten dann stimmts smile

16.02.2005, 14:06

tokitoks

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kommt

$\begin{eqnarray*} e^{-a^2}*((a^2 +0,5)*\sqrt{\pi}) \end{eqnarray*}$

raus?

16.02.2005, 14:17

Seimon

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nach dem editieren stimmts jetzt smile

16.02.2005, 14:18

tokitoks

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okay, vielen vielen dank Big Laugh

noch ne kleine frage:
wenn die funktion f_0(x) um die x-achse rotiert, kommt dann das volumen
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{4} \end{eqnarray*}$
heraus?^^

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-FunktioN! (MSS)

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