Auflagefläche einer Kugel [war: Moin, moin und gleich ne Frage]

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aussie Auf diesen Beitrag antworten »
Auflagefläche einer Kugel [war: Moin, moin und gleich ne Frage]
Guten Morgen allerseits! Willkommen

Cooles Forum hier. Ich heiße Dietmar, bin geschieden und habe eine Sohn, der bei mir lebt. Eigentlich könnte er, mit seinen 17 Jahren, diese Frage stellen, aber er ist nicht so Mathe affin. Augenzwinkern
Ich bin zwar Sptästudierer, aber das ist auch schon ein paar Jahre her (2005 beendet), so dass ich sicher nicht euer Level erreiche. Aber ich liebe Mathe und Physik und kann sicher hier noch Einiges lernen.

Ich frage mich schon seit längerem (hab leider im Studium vergessen, das zu erfragen), welche Auflagefläche eine Kugel auf einem absolut glatten und ebenen Untergrund hat und wie man sowas berechnet. Also geht es im Prinzip um die (flächenmäßige) Größe des Berührungspunktes einer Tangente am Kreis - nur eben dreidimensional. verwirrt

Es gilt natürlich die Annahme, dass sowohl Kugel als auch der Untergrund absolut glatt sind (ansonsten ließe sich ja nichts Genaues sagen).

Würde mich über Antworten freuen und bin echt gespannt.

Wink
aussie
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

die kugel liegt aud einer ebene, das heisst die ebene ist auch eine tangentialebene und damit ist die auflagefläche null, denn lediglich ein einzelner punkt
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

auch wenn es nur 1 Punkt ist. Auch dieser hat eine Fläche..... Kann also nicht Null sein verwirrt

Und genau diese hätte ich gerne gewusst. Wenn man einen Würfel nimmt, dann hat der (Boden und Fläche des W. absolut eben vorausgesetzt usw.) die Auflagefläche seiner Grundfläche.

Eine Kugel mit einem Durchmesser von z.B. 100 cm müsste doch einen höheren Berührungspunkt haben als eine mit 2 cm Durchmesser. Aber, wie errechnet man den? Und gibt es evtl. eine Verhältnismäßigkeit?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aussie
auch wenn es nur 1 Punkt ist. Auch dieser hat eine Fläche..... Kann also nicht Null sein verwirrt

Nein hat er nicht. Definitionsgemäß ist ein Punkt ein Objekt ohne jede Ausdehnung. Besäße ein Punkt einen positiven Flächeninhalt, so würde er weitere Punkte überdecken, was aber wegen der geometrischen Axiomatik nicht sein darf.
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Zitat:
Original von aussie
auch wenn es nur 1 Punkt ist. Auch dieser hat eine Fläche..... Kann also nicht Null sein verwirrt

Nein hat er nicht. Definitionsgemäß ist ein Punkt ein Objekt ohne jede Ausdehnung. Besäße ein Punkt einen positiven Flächeninhalt, so würde er weitere Punkte überdecken, was aber wegen der geometrischen Axiomatik nicht sein darf.


Hm.... verwirrt

Das heißt also, obwohl ein solcher Berührungspunkt einer Kugel mit einer Fläche auf jeden Fall irgend eine Fläche haben müsste, gibt es diese definitionsgemäß nicht? Das wäre typisch Mathe. Ist wohl ähnlich wie die Sache mit der Zahl 0.

Nochmal zurück zur Frage: Nur weil ein Körper kein Quader oder Würfel oder sonst ein Vieleck ist, hat er also keine "Auflagefläche", weil diese nur ein Punkt ist? Wie ist es denn mit einem Ei? Oder anderen Körpern, die keine geraden Kanten oder Flächen haben? Hat also alles was nicht gerade ist keine Auflagefläche? Das kapier ich nicht.....

Zumal doch dieser Punkt bei einem 100 m Durchmesser sicher größer ist, als bei einem 1 cm Durchmesser. Beides Punkte, aber sicher irgendwie unterschiedlich groß... oder doch nicht? verwirrt
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
so würde er weitere Punkte überdecken, was aber wegen der geometrischen Axiomatik nicht sein darf.



Aber der Punkt, auf dem die Kugel den "Boden" berührt, deckt doch einen bestimmten Bereich eben dieses Bodens auch ab....
Würde man die Kugel anmalen, so würde diese - bei einmaligen Auflegen auf die Fläche - sicher Farbe hinterlassen. Genau das wäre doch dann die überdeckte "FLÄCHE".

Nochmal verwirrt
 
 
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Nun wollen wir es mal allgemeiner fassen:
Genau dann, wenn die Auflagefläche eines Körpers eine Tangentialebene bzgl. des Berührungspunktes ist, berührt dieser Körper die Auflagefläche in nur einem Punkt (in diesem idealisiertem Modell).

Bei jedem strikt konvexen Körper (z. B. Kugeln, Eier,...) gilt das also unabhängig von seiner Lage. Bei einem Würfel hingegen gilt das nur, wenn er auf einer seiner 8 Ecken steht.



Edit: Naja ... die Verallgemeinerung mit der Tangentialebene klappt nicht so recht ... ich denke nochmal drüber nach, wie man das besser formulieren sollte.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal den Titel geändert, damit jeder gleich weiß worum es hier geht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aussie
Das heißt also, obwohl ein solcher Berührungspunkt einer Kugel mit einer Fläche auf jeden Fall irgend eine Fläche haben müsste, gibt es diese definitionsgemäß nicht?

Wieso müßte er? Du verwechselst hier praktische Erfahrung mit mathematicher Theorie. In der Praxis ist es doch so, daß wegen des Gewichts der Kugel sowohl die Fläche am Auflagepunkt nachgibt als auch die Kugel dort etwas gestaucht wird, so daß sich sich eine Auflagefläche herausbildet. Wäre das nicht so, wäre der Druck an dieser Stelle unendlich groß, was wohl nur die wenigsten Stoffe aushalten.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aussie
Aber der Punkt, auf dem die Kugel den "Boden" berührt, deckt doch einen bestimmten Bereich eben dieses Bodens auch ab....
Würde man die Kugel anmalen, so würde diese - bei einmaligen Auflegen auf die Fläche - sicher Farbe hinterlassen. Genau das wäre doch dann die überdeckte "FLÄCHE".

In dem idealisiertem Modell würde lediglich ein Farbpunkt zurückbleiben. Den könntest du aber nicht sehen, da er zu klein ist - eben ohne jede Ausdehnung.

Wenn du jetzt aber eine Billierdkugel nimmst, diese bemalst und auf deinem Parkettboden lang rollerst, bleibt natürlich eine Farbspur zurück. Diese ist aber das Resultat, dass die Modellvoraussetzungen der unendlichen Glattheit und Härte der Kugel- und Bodenoberfläche verletzt ist.
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei einem Würfel hingegen gilt das nur, wenn er auf einer seiner 8 Ecken steht.


Sorry, ich will ja nicht nerven, aber da bin ich halt sehr interessiert.

Wie ist es denn, wenn der Würfel auf einen Kante liegt? Dann enstünde kein Punkt, sondern eine Linie. Auch diese hat ja dann keine Fläche oder? Kann ich schon irgendwie nachvollziehen (hat ein Strich, den man mit nem Kuli zieht eine Fläche?), aber trotzdem erscheint mir das unlogisch..... Hammer
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calvin
Ich habe mal den Titel geändert, damit jeder gleich weiß worum es hier geht.


Alles klar. Hast schon Recht. Freude
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aussie
Sorry, ich will ja nicht nerven, aber da bin ich halt sehr interessiert.

Tust du nicht. Ist ja auch ein interessantes Thema. Augenzwinkern

Zitat:
Wie ist es denn, wenn der Würfel auf einen Kante liegt? Dann enstünde kein Punkt, sondern eine Linie. Auch diese hat ja dann keine Fläche oder?

Jetzt wird es spannend. Bei einer Linie kommt es nämlich schon drauf an, welches Maß man für die Messung heranzieht. Per geometrischer Axiomatik, hat auch eine Linie keinen Flächeninhalt, da sie eben nur so "breit" ist wie ein Punkt. Dagegen müsste das Lebesgue-Maß einen positiven Wert für eine Linie im IR³ liefern.
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Diese ist aber das Resultat, dass die Modellvoraussetzungen der unendlichen Glattheit und Härte der Kugel- und Bodenoberfläche verletzt ist.


Aha. Hatte ich zu spät gelesen. Auf diese unendliche Glattheit und Härte wollte ich auch noch zu sprechen kommen. Das heißt also, wenn dies der Fall wäre, gäbe es definitiv keine Fläche des Berührungspunktes, ja? smile

Und das, was man eben sehen kann, ist dann nur bedingt durch eben diese fehlende Unendlichkeit der Härte und Glattheit? verwirrt
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Jetzt wird es spannend. Bei einer Linie kommt es nämlich schon drauf an, welches Maß man für die Messung heranzieht. Per geometrischer Axiomatik, hat auch eine Linie keinen Flächeninhalt, da sie eben nur so "breit" ist wie ein Punkt. Dagegen müsste das Lebesgue-Maß einen positiven Wert für eine Linie im IR³ liefern.


Ich glaube, ich hätte noch ein zusätzliches Semester Mathe machen sollen, wie? verwirrt Prost
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aussie
Und das, was man eben sehen kann, ist dann nur bedingt durch eben diese fehlende Unendlichkeit der Härte und Glattheit? verwirrt

Siehe dazu meinen Beitrag oben. Augenzwinkern
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Forum Kloppe mich, aber irgendwie bin ich noch nicht gänzlich zufrieden... verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Strang und seine Beiträge zeigen schön die Problematik beim Übergang von der Realität zum mathematischen Modell oder umgekehrt. Eine "mathematische Kugel" ist eben etwas anderes als eine "reale Kugel".

Ein anderes Beispiel: Stelle dir einen Gang von Breite vor, der im rechten Winkel abknickt. Jetzt soll eine waagerecht gehaltene Gardinenstange um die Ecke getragen werden. Im mathematischen Modell wird aus der Geradinenstange eine Strecke. Und eine Anwendung des Satzes des Pythagoras zeigt, daß die Gardinenstange um die Ecke paßt, wenn ihre Länge kleiner als ist, und daß man hängen bleibt, wenn ihre Länge größer als ist.
Und was ist nun, wenn die Länge der Stange genau beträgt? Kann man sie nun um die Ecke tragen oder nicht? Oder beides? Oder keines von beiden? verwirrt verwirrt verwirrt
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Erklärung. Freude

Hatte mir schon gedacht, dass es da diese beiden Ebenen Realität und Mathematik gibt. Ist halt nicht so einfach, sich komplett in die Zahlenwelt zu versetzen.

Ähnlich merkwürdig fand ich diese Aussage mit dem Hasen, der nach einer Zeit z immer die Hälfte seines Rückstandes auf einen Igel aufholt. Rein mathematisch dürfte er dann ja diesen nie überholen. Ist schon lustig, die Mathematik. smile

Auf jeden Fall finde ich es echt klasse, wie einem hier geholfen wird. Supi! Freude

Mir fällt bestimmt noch was Merkwürdiges ein, das ich fragen kann. Lehrer Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit Kugeln kann man schon so seinen Spaß machen. Zum Thema Mathematik und gefühlte Realität fällt mir noch eine alt bekannte Geschichte ein:

Man betrachte die Erde als ideale Kugel und binde um sie ein Seil entlang des Äquators, so daß es überall eng aufliegt. Nun schneide man das Seil auf und binde zusätzlich 1m Seil hinein. Dann wird das verlängerte Seil wieder zu einem Kreis "ausgebeult", das dann überall den gleichen Abstand von der Erde hat. Wie groß ist nun dieser Abstand?
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ja mit Kugeln kann man schon so seinen Spaß machen. Zum Thema Mathematik und gefühlte Realität fällt mir noch eine alt bekannte Geschichte ein:

Man betrachte die Erde als ideale Kugel und binde um sie ein Seil entlang des Äquators, so daß es überall eng aufliegt. Nun schneide man das Seil auf und binde zusätzlich 1m Seil hinein. Dann wird das verlängerte Seil wieder zu einem Kreis "ausgebeult", das dann überall den gleichen Abstand von der Erde hat. Wie groß ist nun dieser Abstand?


hm... das müsste sich doch relativ simpel errechnen lassen oder seh ich da was falsch? verwirrt
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Zitat:
Original von aussie
auch wenn es nur 1 Punkt ist. Auch dieser hat eine Fläche..... Kann also nicht Null sein verwirrt

Nein hat er nicht. Definitionsgemäß ist ein Punkt ein Objekt ohne jede Ausdehnung. Besäße ein Punkt einen positiven Flächeninhalt, so würde er weitere Punkte überdecken, was aber wegen der geometrischen Axiomatik nicht sein darf.


Dazu nochmal eine Nachfrage:

Aaalso, wenn ich mir diesen Punkt - der ja gem. Definition ein Objekt ohne Ausdehnung ist - ansehe, während ich mich auf Molekular-Ebene befinde (als Vergleich könnte man ja auch einen Würfel nehmen, der auf dem Tisch liegt und diesen aus einem Verhältnis betrachten, in dem die Erde in eine Hand passt), dann hat doch dieses Objekt irgend eine Ausdehnung..... verwirrt (da ist der Kopfkratzer wieder smile )
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aussie
hm... das müsste sich doch relativ simpel errechnen lassen oder seh ich da was falsch? verwirrt

In der Tat ist das prinzipiell simpel. Kommt halt drauf an, ob man mit konkreten Zahlen rechnet oder mit Formeln.

Da das Spiel in der nächsten Aufgabe mit einem Fußball gemacht wird, ist die Rechnung mit Formeln sicherlich günstiger.
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Dazu nochmal eine Nachfrage:

Aaalso, wenn ich mir diesen Punkt - der ja gem. Definition ein Objekt ohne Ausdehnung ist - ansehe, während ich mich auf Molekular-Ebene befinde (als Vergleich könnte man ja auch einen Würfel nehmen, der auf dem Tisch liegt und diesen aus einem Verhältnis betrachten, in dem die Erde in eine Hand passt), dann hat doch dieses Objekt irgend eine Ausdehnung..... verwirrt (da ist der Kopfkratzer wieder smile )



Ich schiebe die Sache nochmal an. Hab zwar verstanden, dass es da Definitionen für gibt, aber wenn man die Sache auf Molekular-ebene betrachtet, kann man doch sicher zumindest darüber diskutieren oder was meint ihr? Lehrer
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich was dazu sagen darf, dass man die Kugel mit Farbe anstreicht:

Farbe besteht nicht aus unendlich vielen und unendlich kleinen Farbpunkten, sondern aus Molekülen (von denen sich wohl sogar wiederum einige gruppieren). Darum (und weil in der Realität die Kugel/die Unterlage etwas nachgibt) kann man wohl erwarten, dass die Farbe eben eine kleine Fläche auf dem Tisch zurücklassen wird.

Die Sache ist halt, dass irgendwie eine Grenze zwischen absolut idealisierter Mathematik und der leider zu realen Realität besteht. Es gäbe theoretisch so viele Dinge in der Realität, die man mathematisch mit einbeziehen müsste smile

air
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Ist wohl nur schwer greifbar das Ganze... Augenzwinkern

Ist dieses Phänomen denn sofort zu beobachten, sobald man eine Gerade etwas krümmt? Also bei einer "absoluten" Kugel genau das Gleiche wie bei einer nur etwas konkaven (oder konvexen) Ex-Geraden? verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Rein mathematisch dürfte es so sein, ja. Sobald dein Objekt an der "Berührumgebung" nicht flächig ist wird die Ebene auch nur von einem Punkt berührt. Die Ebene ist Tangentialebene. Wenn wir mal im 2-D bleiben also eine Tangente. Und da kann man sich das doch gut vorstellen smile



Es sieht zwar nach flächiger Auflage aus, tatsächlich ist der einzige Punkt aber eben x=0 (bzw. (0/0) um es Punk nennen zu dürfen).

In der Realität würde ich hier jetzt erwarten, dass die Farbe aber im Bereich von etwa -0,5 bis 0,5 am Boden haftet. Ich hoffe es ist verständlich, wie ich das meine smile

air
(P.S.: Der Grund, warum zwischen perfekter Kugel und nur leicht gekrümmter "Ex"-Geraden kein Unterschied besteht, ist, dass es doch unerheblich ist, wie weit Umgebungspunkte d. Berührpunktes dann von der Ebene entfernt sind. Es ist nur wichtig, dass sie eine Entfernung verschieden von 0 haben smile )
aussie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Rein mathematisch dürfte es so sein, ja. Sobald dein Objekt an der "Berührumgebung" nicht flächig ist wird die Ebene auch nur von einem Punkt berührt. Die Ebene ist Tangentialebene. Wenn wir mal im 2-D bleiben also eine Tangente. Und da kann man sich das doch gut vorstellen smile



Es sieht zwar nach flächiger Auflage aus, tatsächlich ist der einzige Punkt aber eben x=0 (bzw. (0/0) um es Punk nennen zu dürfen).

In der Realität würde ich hier jetzt erwarten, dass die Farbe aber im Bereich von etwa -0,5 bis 0,5 am Boden haftet. Ich hoffe es ist verständlich, wie ich das meine smile

air
(P.S.: Der Grund, warum zwischen perfekter Kugel und nur leicht gekrümmter "Ex"-Geraden kein Unterschied besteht, ist, dass es doch unerheblich ist, wie weit Umgebungspunkte d. Berührpunktes dann von der Ebene entfernt sind. Es ist nur wichtig, dass sie eine Entfernung verschieden von 0 haben smile )


Stimmt. wenn man sich die Gerade ansieht, die nur ein wenig gebogen ist, dann ist diese halt Teil eines richtig großen Kreises (also das Gleiche)..... Oder? verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sag vorsichtig mal "Ja", es muss ja nicht so sein (kann auch nicht "rund" gebogen sein).
Aber in einer Umgebung um den Berührpunkt ist bei der "gebobenen Geraden" (=Kurve) die Näherung als (großer) Kreis wohl besser als die durch eine Tangente (das könnte man ganz blöd auch mit Taylorreihen erklären).

air
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