Grenzwert eines Bruchs mit Wurzel

15.02.2005, 18:16

Hoad

hi,
berechnen sie folgeneden grenzwert (sofern dieser existiert)
\lim_{n \to \-3}{sqrt{x+12} -3 \over x^2-9

habe mir hier einige post zu grenzwerten durchgelesen, aber die gehen alle gegen unendlich oder gegen 0. was muss ich hier machen?? verwirrt

hmm warum haut die darstellung nicht hin??

15.02.2005, 18:18

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \ -3}\frac{\sqrt{x+12} -3}{x^2-9} \end{eqnarray*}$
meinst du das?

code:
1:	[latex]\lim_{n \to \ -3}\frac{\sqrt{x+12} -3}{x^2-9}[/latex]

edit: korrigiert, da hat ein leerzeichen gefehlt

15.02.2005, 18:19

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

jo genau das meine ich, ausser das limes gegen - 3 geht

15.02.2005, 18:26

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

dann versuch z.b. mal den satz von de l'hospital anzuwenden, denn du hast hier die voraussetzung "0/0" als grenzwert.
ist dann ganz einfach.....

15.02.2005, 18:42

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich ganz ehrlich bin, habe ich von l'hospital erst in diesem forum erfahren.
also den l'hospital wende ich immer dann an wenn der grenzwert 0/0 ist?

15.02.2005, 18:44

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist eine mögliche bedingung dafür, dass du ihn anwenden kannst.....
als grenzfall sowas wie "0/0", aber auch möglich wäre als grenzfall: "unendlich/unendlich".
natürlich auch bei "unendlich/-unendlich", denn das - kannst du ja vor den bruch ziehen....
weißt du was der satz dann besagt und kannst ihn hier anwenden? ist echt nicht schwer damit....

als hilfestellung und zur kontrolle: der grenzwert ist -1/36....

mfg jochen

15.02.2005, 21:20

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich den l´hospital richtig verstanden habe,kann ich bei 0/0 für die ursprünglichen funktionen die erste ableitung nehmen.
was dann wie folgt aussieht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \ -3}\frac{\sqrt{x+12} -3}{x^2-9} = \frac{u}{v} \end{eqnarray*}$

u= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+12} \Rightarrow \frac{1}{2*\sqrt{x+12} }<br /> v= x²-9 \Rightarrow 2x \end{eqnarray*}$
soweit richtig ???

16.02.2005, 19:25

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

also wenn ich den l´hospital richtig verstanden habe,kann ich bei 0/0 für die ursprünglichen funktionen die erste ableitung nehmen.

noch besser! du brauchst hier nicht mal sowas wie quotienten regel.....

für den granzfall "0/0" gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x \to x_0} \frac{u'(x)}{v'(x)} \end{eqnarray*}$
also sogar einfach zähler und nenner getrennt ableiten....

also versuchs nochmal!

mfg jochen

16.02.2005, 20:07

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte eigentlich noch sagen, dass ich das Thema mal geteilt habe Augenzwinkern

16.02.2005, 20:12

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wollte eigentlich noch sagen, dass ich das Thema mal geteilt habe Augenzwinkern

dann sag das doch *g*
womit war das vorher zusammen?? verwirrt

16.02.2005, 22:32

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

boar und ich such mir hier nen wolf, wo meine posts hin sind Hammer

@ loed,
na ich dachte, das habe ich eigentlich gemacht

habe doch erst u abgeleitet und dann v.
bin jetzt etwas verwirrt

17.02.2005, 01:50

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das hast du auch richtig abgeleitet....
ich wollte nur klarstellen, dass du das jetzt nicht als quotientenregel ansiehst [f=u/v dann f'=(u'v-uv')/v²], sondern wirklich den grenzwert von u'/v' betrachtest....
was hast denn raus, wenn du x gegen -3 laufen lässt bei u'/v'?

17.02.2005, 08:21

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie so oft, kann man auf L'Hospital auch verzichten und die gute alte binomische Formel heranziehen:

Erweitern mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+12}+3 \end{eqnarray*}$ und anschließend kürzen von $\begin{eqnarray*} (x+3) \end{eqnarray*}$ .

17.02.2005, 10:17

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

dann versuch z.b. mal den satz von de l'hospital anzuwenden

deswegen steht hier ja auch "man kann", arthur....
ich habe schon gemerkt, dass hier im board der de l'hospital ungern gesehen wird (warum auch immer), aber er ist in diesem falle doch der schnellste und vor allem effektivste "schülerweg".
und er liefert anstandslos das korrekte ergebnis.
wieso also anders machen?

17.02.2005, 10:24

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ raus.

17.02.2005, 10:30

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

applaus, applaus, das ist richtig....
mehr beispiele für den satz von de l'hospital?
und immer est prüfen, ob du "0/0" oder "unendlich/unendlich" hast, damit du den l'hospital überhaupt anwenden darfst!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{cos(x)-1}=? \end{eqnarray*}$

mfg jochen

17.02.2005, 10:39

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LOED
aber er ist in diesem falle doch der schnellste und vor allem effektivste "schülerweg".

Das kann man durchaus auch anders sehen. (Wie bereits oben in meinem ersten Threadbeitrag, verwende auch ich hier die Formulierung "kann man" - beachte das bitte, LOED. Augenzwinkern

)

17.02.2005, 10:47

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

die hauptsache ist doch, das mir geholfen wurde smile

also bei der ersten bekomme ich 1 raus.
und beim zweiten hab ich -1 raus.

17.02.2005, 10:49

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

erstes stimmt, 2. noch mal nachrechnen!

17.02.2005, 11:13

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm da bin ich in einer sackgasse, hab jetzt 3 ableitungen gemacht und komme immer wieder auf 0/1 oder 1/0 oder -1/0 oder 0/-1.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{cos(x)-1} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{sin(x)}\Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{- sin(x)}{cos(x)}\Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{- cos(x)}{- sin(x)} \end{eqnarray*}$

ich mache doch bestimmt was falsch bei der ableitung? verwirrt

17.02.2005, 11:17

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

achtung! das ist nicht "=>", das ist wirklich "="!
aber das zweite gleichzeichen stimmt schon nicht mehr.
beim "limes cos/sin" hast du nicht mehr "0/0", da gilt die regel dann nicht mehr!!!
andererseits kannst du hier den limes schon angeben....
grenzfall [betragsmäßig] "1/0" was isn das?
jetzt noch wegen dem vorzeichen links- und rechtsseitigen grenzwert unterscheiden!

und ganz wichtig:
und: der kosinus abgleitet ist -sinus!

17.02.2005, 11:43

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich hier aufhören? :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{cos(x)-1} =\lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{- sin(x)} \end{eqnarray*}$
so und jetzt soll ich untertscheiden zwischen linksseitigem grenzwert und rechtsseitigem grenzwert???
also mal sehen ob ich das hinbekomme:

$\begin{eqnarray*} gl \lim_{x \to 0} (x < 0) = \lim_{x \to 0} \frac{cos(-1)}{- sin(-1 )}= 57,29<br /> gr \lim_{x \to 0} (x > 0) = \lim_{x \to 0} \frac{cos(1)}{- sin(1)}= -57,29 \end{eqnarray*}$

17.02.2005, 12:01

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

x gegen 0 und du setzt -1 ein???!
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin(x)=0, \lim_{x \to 0} cos(x)=1 \end{eqnarray*}$
dabei ist sin(x) in der nullumgebung positiv, wenn x>0 und negativ, wenn x<0.

jetzt mach mal weiter

17.02.2005, 14:55

Hoad

Auf diesen Beitrag antworten »

na dann hab ich da was falsch verstanden. dachte, wenn ich den linksseitigen grenzwert haben will, muss ich nen wert kleiner 0 einsetzen. und wenn ich nen rechtsseitigen grenzwert haben will, nen wert größer null.
muss ich mich nochmal schlau machen. smile

17.02.2005, 14:58

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, zum beispiel:
f(x)=1/x
lim x gegen 0 gibt als linksseitigen grenzwert -unendlich und als rechtsseitigen +unendlich....
klar?

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert eines Bruchs mit Wurzel

Verwandte Themen