Basiswechsel

27.07.2007, 12:08

barucia

Basiswechsel

Hallo Leute!

Ich hätte hier folgende Aufgabe:

Es seien V:=Q3x1

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 & 7 \\ 1 & -2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & -4 & 3 & 5 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B:=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a.) Zeige, dass die Spalten von B eine Basis von V bilden.
b.) Welche Dimension hat der Spaltenraum von A ?
c.) Wähle aus den Spalten von A eine Basis des Spaltenraums von A aus und ergänze diese durch Spalten von B zu einer Basis von V.
d.) Berechne die Koordinatenspalten der Spalten von B bezüglich dieser neuen Basis von V.

a.) Die Spalten w1, w2, w3 von B sind linear unabhängig und ein EZS =>w=( w2, w2, w3) Basis von V
b.) A durch elementare Zeilenumformung auf Stufenform bringen

$\begin{eqnarray*} PA=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

rang(A)=2= Dimension des Spaltenraums

c.) BAsis des Spaltenraums von A sind die Spalten in denen ein Pivot steht, also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

diese Spalten ergänze ich mit der ersten Spalte von B zu einer Basis von V.

$\begin{eqnarray*} v=(v1, v2, v3)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist linear unabhängig und EZS von V => v Basis von V

d.) d. h. doch dass w1=d1v1+d2v2+d3v3 und
$\begin{eqnarray*} d=\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und das sollte dann die Koordinatenspalte von w1 bezüglich v sein

das selbe mach ich dann mit w2 und w3 und bekomme die Koordinatenspalten der Spalten von B bezüglich v, oder ??

weil in der Lösung steht v=e*T, e= Standardbasisvektoren e1, e2, e3

und v*T^-1=e , aber dann sind ja die Spalten von T^-1 die Koordinatenspalten von e bezüglich v und das war ja nicht gefragt!

Wäre toll, wenn ihr mir weiterhwlfen könntet- entweder ich steh total auf dem schlauch, oder die Lösung ist falsch??????

27.07.2007, 12:14

therisen

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Hallo,

Latex funktioniert hier im Board so:

code:
1:	[latex] dein latex-code [/latex]

und NICHT so

code:
1:	[latex dein latex-code ]

Dein Vorgehen ist prinzipiell richtig, aber ob du Rechenfehler hast, kann ich dir nur sagen, wenn du deine Rechnung postest. Das Matheboard ist keine Lösungsmaschine (das Nachrechnen kostet die Helfer ja nur unnötig Zeit).

Gruß, therisen

27.07.2007, 18:48

Barucia

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...also zu d.)

$\begin{eqnarray*} w_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=d_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+ d_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}+ d_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} => \begin{pmatrix}1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} => \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 1 \end{pmatrix} => d=\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+ c_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}+ c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=> \begin{pmatrix}1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} => \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 2/3 \\ 0 & 0 & 1& 0 \end{pmatrix} => c=\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2/3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = f_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+ f_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}+ f_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=> \begin{pmatrix}1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} => \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1& 0 \end{pmatrix} => f=\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1/3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(hab das mit Rechner überprüft!!)
d.h. die Transformationsmatrix für w=vT ist $\begin{eqnarray*} T=(d, c, f)=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2/3 & 1/3 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit sind die Spalten von T die Koordinatenspalten von w bezüglich v.

Das ist doch in der Aufgabe gefragt!!

aber als Lösung für die Aufgabe habe ich wie schon erwähnt
die Koordinatenspalten von e bezüglich v??????

29.07.2007, 10:23

__Alex__

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Hi,

habe Deine Lösung nur kurz überfolgen und m.E. ist Deine Lösung korrekt. Um zu beurteilen, ob die vorgegebene ML einen Fehler enthält, müsstest Du diese posten, denn bekanntlich gibt es viele Wege nach Rom.

LG
Alex

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