Eigenschaft von Integralfunktion?!?

16.02.2005, 19:16

Proponent

Eigenschaft von Integralfunktion?!?

hallo habe folgende hausaufgabe aufbekommen ...
weiß aber nicht wie ich ansetzen muss ..

Beweise folgendes :

a) Jede Integralfunktion hat eine Nullstelle

b) Jede Integralfunktion ist stetig

c) f(x) > 0

wäre euch auch sehr verbunden ,wenn ihr den Sachverhalt en detail schildern und keinen belanglosen Senf abgeben könntet ...

16.02.2005, 19:53

Frooke

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RE: Eigenschaft von Integralfunktion?!?
Hallo Proponent!
Zunächst einmal sollten wir deine Ausgangsfunktion f(x) kennen, um deine Fragen zu beantworten. Des weiteren werden hier aber nicht einfach deine Hausaufgaben gelöst! Du solltest genau sagen, wo's happert!

Wenn du echt keinen Ansatz hast: Hier ein paar Tipps.
a) Zeige, dass die Stammfunktion deiner Funktion für jedes C eine Nullstelle hat. Das meinst Du doch oder? verwirrt

b) Rechne die Funktion aus und check dann, ob sie stetig ist oder nicht!

c) Da musst Du prüfen, ob der Wertebereich von f(x) wirklich keine nichtpositiven Zahlen beinhaltet! Aber es wäre schon nicht schlecht, deine Funktion zu kennen!

Gruss

16.02.2005, 19:59

Mathespezialschüler

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Wir geben hier keine kompletten Lösungen, sondern lieber Tipps, damit du die Aufgabe selbst lösen kannst. Siehe auch dem Prinzip des Matheboards.
Also du müsstest schon noch irgendwas an Voraussetzungen bringen. Wie z.B.: Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierbar auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Dann hat die für $\begin{eqnarray*} x\in [a,b] \end{eqnarray*}$ definierte Integralfunktion $\begin{eqnarray*} G(x):=\int_{a}^x~f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle und ist auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stetig.

Was man bei c) beweisen soll, ist mir leider unklar, da du vorher noch gar nicht gesagt hast, was $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt ist!!?

16.02.2005, 20:01

Trazom

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Also wenn Du Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_{a}^{x}~g(t)~dt \end{eqnarray*}$

meinst, ist das nicht schwer.

1.)

$\begin{eqnarray*} f(a)=0 \end{eqnarray*}$

2.)

Siehe Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

3.)

Stimmt ja gar nicht...oder etwa doch?

16.02.2005, 20:23

Mathespezialschüler

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@Trazom
Formuliere hier mal bitte den Hauptsatz, so wie du ihn kennst!

16.02.2005, 20:42

Proponent

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re
also erstmal entschulidige ich mich, dass meine Information bezüglich der aufgabe so spärlich ist ...aber eine konkrete Funktion wie f(x)=x² ist nicht vorgegeben ....

Die oben geposteten Annäherungsversuche sind verständlich ,dennoch verfolge ich nicht die Intension eine Funktion wie f(x) =x² auszurechnen, sondern eher ziele ich die "theoretischen Beweise" an

ein Beispiel zum Verständnis:

zu den Symetrie-eigenschaft

behauptung: (f +g )(-x) = - (f +g) (x)

beweis: (f+g) (-x) = f(-x) + g(-x)
= - f(x) -g(x)
= - ( f(x) + g(x) )
= -(f +g) (x)

sowas in der art soll ich mithilfe der aufgabenstellung zeigen ,dass die obengenannte behauptung zutrifft

Zunächst sollte ich auch erwähnen, dass wir noch nicht die Stammfunktion besprochen haben ..

Höchstens F´ = f

16.02.2005, 20:57

Mathespezialschüler

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Jetzt gehts auf einmal um eine Symmetrieeigenschaft einer Funktion?
Tut mir leid, aber ich hab 0 Ahnung, was die Aufgabe sein soll.
Es wäre also schön, wenn du sie mal wörtlich hinschreiben würdest.

16.02.2005, 21:42

Trazom

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Trazom
Formuliere hier mal bitte den Hauptsatz, so wie du ihn kennst!

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \int_{a}^{x}~f(t)~dt = f(x) \end{eqnarray*}$

Ich wollte darauf hinaus, dass eine Integralfunktion laut dem Hauptsatz differenzierbar ist, folglich muss sie stetig sein.

16.02.2005, 21:48

Frooke

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Aber eine Integralfunktion muss doch nicht zwangsläufig eine Nullstelle besitzen oder...
Ich meine $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ hat als mögliche Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F(x)=k \end{eqnarray*}$ . Und das hat etweder keine oder unendlich viele Nullstellen...

Da sollte bei Proponent doch irgendwie noch eine Funktion gegenen sein`!!

16.02.2005, 22:18

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@Frooke

$\begin{eqnarray*} F(x)=k \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$ keine Integralfunktion von f(x)=0. Zum Unterschied zwischen Stamm- und Integralfunktion siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion

17.02.2005, 16:55

Frooke

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Ach so, ok, Danke!!!

Aber bei Proponent fehlen doch dennoch Angaben, oder nicht? Ausserdem muss doch nicht jede Integralfunktion eine Nullstelle besitzen oder...?

17.02.2005, 17:53

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Zitat:

Original von Frooke
Ausserdem muss doch nicht jede Integralfunktion eine Nullstelle besitzen oder...?

Doch, das muss sie, schließlich gilt stets

$\begin{eqnarray*} F_a(a)=\int\limits_a^a f(x)~dx=0 \end{eqnarray*}$ ,

und jede Integralfunktion ist per Definition gleich irgend einer der F_a.

17.02.2005, 19:31

Frooke

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Ja, stimmt... Hammer

Sorry für den Quatsch, den ich geschrieben habe... Gott

Und danke Arthur! Das war wiedermal höchst aufschlussreich smile

Gruss Frooke

18.02.2005, 22:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Trazom

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Trazom
Formuliere hier mal bitte den Hauptsatz, so wie du ihn kennst!

*g*, genau das hatte ich erwartet und ich hatte deswegen auch extra nachgefragt. Es ist nämlich absolut falsch!
Eine integrierbare Funktion besitzt natürlich eine Integralfunktion, diese muss aber nicht eine Stammfunktion sein, da sie nicht differenzierbar sein muss. Beispiel:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:[-1,1]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&\;\mbox{für}\,x\leq 0\\1&\;\mbox{für}\,x>0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

ist integrierbar und besitzt die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F:[-1,1]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int\limits_0^x f(t)~dt=\left\{\begin{array}{ll}0&\;\mbox{für}\,x\leq 0\\x&\;\mbox{für}\,x>0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

die aber im Punkt 0 nicht differenzierbar ist!
(Funktion aus diesem Thread entnommen)

Das Problem liegt darin, dass im Hauptsatz die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die hier natürlich nicht gegeben ist, vorausgesetzt wird und eine integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss nunmal nicht stetig sein.

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