Stammfunktion gesucht: So korrekt?

16.02.2005, 20:00

sebstey

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Stammfunktion gesucht: So korrekt?

Hallo.
Ich versuche mich gerade daran eine Stammfunktion zu folgender Funktion zu finden:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{x^{2}+k^{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das umstelle nach:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (\frac{x^{2}+k^{2}}{x})^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann müsste ich doch nach

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

so eine Stammfunktion bilden können

$\begin{eqnarray*} ln | \frac{(x^{2}+k^{2})}{x} | \end{eqnarray*}$

oder?

Gibt es einen einfacheren Weg, bzw. wenn obiger falsch ist, einen richtigen?

Vielen Dank!

16.02.2005, 20:05

derkoch

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ein "VORFAKTOR" fehlt !! smile

smile

und das argument ist auch nicht richtig!

16.02.2005, 20:17

JochenX

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und bitte dazusagen, was k ist.....
ich vermute eine konstante?

16.02.2005, 20:17

Calvin

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Gefundene Stammfunktionen kann man sehr einfach auf Richtigkeit prüfen. Leite sie einfach ab und schaue, ob die ursprüngliche Funktion rauskommt. Hier wirst du sehen, dass du nicht richtig gerechnet hast.

Der Ansatz ist schon komplett falsch. Du kannst die Info, dass $\begin{eqnarray*} [\ln(x)]'=1/x \end{eqnarray*}$ so direkt nicht verwenden, da du noch eine innere Funktion hast. Aber vielleicht hilft es dir weiter, wenn ich es dir ein bißchen umschreiben.

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x}{x^2+k^2}\,dx=\frac{1}{2}\int~\frac{2x}{x^2+k^2}\,dx \end{eqnarray*}$ .

Fällt dir was auf? Findest du einen Zusammenhang zwischen Zähler und Nenner? Kennst du möglicherweise sogar eine Formel für die Stammfunktion einer solchen Funktion?

Wenn nicht, dann probiere die Substitution $\begin{eqnarray*} t=x^2+k^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.02.2005, 20:19

sebstey

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aber wieso ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{(x^{2}+k^{2})}{x}} \end{eqnarray*}$

nicht gleich

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x^{2}+k^{2})} \end{eqnarray*}$
?

Und zugegeben: Der Begriff des Vorfaktors ist mir unbekannt und welches Argument genau falsch ist, weiß ich auch nicht. Ich nehme mal an, das Argument 'meiner Stammfunktion', aber dass das falsch ist, ist ja schon fast klar, wenn die gesamte Stammfunktion falsch ist Big Laugh

Big Laugh

[EDIT]
ok, muss ich wohl erstmal sehen, dass es da eine äußere und eine innere funktion gibt.

k ist Parameter. vielleicht als t leichter zu erkennen.
Jetzt fällt mir wieder ein, dass man bei latex mit einem Unterstrich Zeichen tiefsetzen kann. Also die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f_k(x) = \frac{x}{x^{2}+k^{2}} \end{eqnarray*}$

16.02.2005, 20:19

derkoch

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du und Pionier kennt euch nicht zufällig oder?

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=13420

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16.02.2005, 20:33

sebstey

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Calvin, also ist die innere Funktion $\begin{eqnarray*} x^{2} + k^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^{-1} \end{eqnarray*}$ die äußere Funktion?

Wir haben das im Unterricht so in etwa als Substitutionsregel zur Bestimmung von Integralen kennengelernt.
Allerdings haben wir es entweder garnicht besprochen, oder ich habe nur nicht mitbekommen, wie man daraus dann die allgemeine Stammfunktion ermittelt.

Bei der Bestimmung der Integrale ersetze ich die Grenzen u und o ja durch g(u) und g(o), wobei g(x) die innere Funktion wäre. Aber was mache ich damit, wenn ich nur die Stammfunktion suche und kein Integral bestimmen will?
Und was mache ich mit dem Faktor, den ich vor das Integral gezogen habe, um im Integral passend nur innere, äußere und Ableitung der inneren Funktion zu haben? Wann bringe ich den wieder rein?

Danke!

16.02.2005, 20:35

JochenX

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Zitat:

Original von Calvin
Wenn nicht, dann probiere die Substitution $\begin{eqnarray*} t=x^2+k^2 \end{eqnarray*}$

da steht doch alles, was du brauchst verwirrt

verwirrt

16.02.2005, 20:51

Calvin

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Das mit der Substiutionsregel hast du soweit richtig erkannt. Wenn du keine Grenzen hast, dann können auch keine mitsubstituiert werden. Logisch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du führst die Substitution mit der neuen Variablen konsequent durch. Erst am Ende führst du eine Rücksubstitution durch, so dass du die alte Variable wieder hast. Der Faktor vor dem Integral wird die ganze Zeit mitgeschleppt.

In Formeln sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \int~f(x)dx=\frac{1}{2}\int~2f(x)~dx=\frac{1}{2}(2F(x) + c_1)=F(x) + 2c_1=F(x) + c \text{ mit } 2c_1= c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

16.02.2005, 21:06

sebstey

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Zitat:

Original von Calvin
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x}{x^2+k^2}\,dx=\frac{1}{2}\int~\frac{2x}{x^2+k^2}\,dx \end{eqnarray*}$ .

Fällt dir was auf? Findest du einen Zusammenhang zwischen Zähler und Nenner?

Zufällig, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist?

Zitat:

Kennst du möglicherweise sogar eine Formel für die Stammfunktion einer solchen Funktion?

Nein, nicht ohne da wieder nen Logarithmus reinzubringen, und damit kann ich wieder nicht umgehen.

Zitat:

Wenn nicht, dann probiere die Substitution $\begin{eqnarray*} t=x^2+k^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{t} \end{eqnarray*}$
Bringt mir leider auch nichts (mehr). Ich bin entweder zu blöd, wie LOED es andeutet, oder ich hab es noch nie zusammenhängend erklärt gehört.

Ich hoffe dann einfach mal auf eine Erklärung im Unterricht.

Danke für eure Hilfe, aber die will ich auch nicht zu sehr strapazieren.

[EDIT]
Ich hatte mir etwas viel Zeit für die Antwort gelassen, deswegen hatte ich deine, Calvin, noch nicht gelesen. Danke dafür. Ich werd versuchen es damit hinzubekommen.

16.02.2005, 21:11

JochenX

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Zitat:

Ich bin entweder zu blöd, wie LOED es andeutet

wo sage ich sowas???

aber bitte lies noch mal in deinem aufschrieb über substitution nach.....
t=irgendwas von x substituieren.... dann müssen alle x weg....
dann musst du insbesondere beim integral auch dx erstzen mit dt.....

versuchs doch nochmal......

16.02.2005, 21:14

Calvin

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Ja, ich wollte darauf hinaus, dass der Zähler die Ableitung vom Nenner ist. Und mit dem ln hat die Stammfunktion auch was zu tun.

Hast du verstanden, wie Substitution funktioniert? Ich habe nicht so ganz den Eindruck. Beim Substituieren bringst du ja eine neue Variable ins Spiel. Die alte darf dann nicht mehr auftauchen. Z.B. so:

$\begin{eqnarray*} \int~2xe^{(x^2)}~dx \end{eqnarray*}$
Substituiere t=x^2. Das mußt du nun auf beiden Seiten nach x ableiten. Das schreibt man dann so: $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=2x \end{eqnarray*}$ . Dann "normal" auflösen nach dx ergibt. $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$ .

Jetzt setzt du das in dein Integral ein:

$\begin{eqnarray*} \int~2xe^{(x^2)}~dx=\int~2xe^{t}\cdot \frac{1}{2x}dt=\int~e^{t}~dt=e^t + c \end{eqnarray*}$

Dann mußt du noch die Rücksubstitution vornehmen. Das heißt, du ersetzt t wieder durch x^2. Die Stammfunktion ist also $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{(x^2)}+c \end{eqnarray*}$ .

Konntest du das nachvollziehen? Wenn ja, dann versuche es mal auf dein Problem zu übertragen.

16.02.2005, 21:40

sebstey

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Zitat:

Original von Calvin
Hast du verstanden, wie Substitution funktioniert? Ich habe nicht so ganz den Eindruck. Beim Substituieren bringst du ja eine neue Variable ins Spiel. Die alte darf dann nicht mehr auftauchen.

Wenn ich mir dein Beispiel angucke, befürchte ich auch, dass ich es nicht verstanden habe. Allerdings haben wir bei diesem Themenbereich auch noch keine Variablen substituirt. (Wir sind noch nicht lange dabei, in dieser 'kompilizierteren' Form)

Was ich nicht verstehe: Wenn du bei meiner Ausgangsfunktion x² + k² durch t substituierst, kannst du damit doch das einzelne x des Zählers nicht substituieren, oder? Dann bliebe nochmal ein x über, dass aber bei der Substitution verschwinden müsste.

Zitat:

Original von CalvinZ.B. so:

$\begin{eqnarray*} \int~2xe^{(x^2)}~dx \end{eqnarray*}$
Substituiere t=x^2. Das mußt du nun auf beiden Seiten nach x ableiten. Das schreibt man dann so: $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=2x \end{eqnarray*}$ . Dann "normal" auflösen nach dx ergibt. $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$ .

Mir ist nicht klar, wie du 'beide' Seiten nach x ableitest. Erstens ist mir nicht klar, was auf der 'anderen' Seite steht. Zweitens weiß ich nicht, wie ich nach x ableiten soll, wenn ich es gerade duch t substituiert habe.

Zitat:

Original von Calvin
Jetzt setzt du das in dein Integral ein:

$\begin{eqnarray*} \int~2xe^{(x^2)}~dx=\int~2xe^{t}\cdot \frac{1}{2x}dt=\int~e^{t}~dt=e^t + c \end{eqnarray*}$

Dann mußt du noch die Rücksubstitution vornehmen. Das heißt, du ersetzt t wieder durch x^2. Die Stammfunktion ist also $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{(x^2)}+c \end{eqnarray*}$ .

Diese Schritte kann ich nachvollziehen, ja. Allerdings fehlt mir weiter oben wie beschrieben das Verständnis.

Ich bedanke mich nochmal für die Hilfe. Ich wollt euch jetzt nicht mehr dazu bewegen heut noch Zeit für dieses Problem aufzuwenden. Bei den Mitteln, die ihr beschreibt, drängt sich mir der Verdacht auf, dass wir das in den nächsten Stunden im Unterricht klären werden. Sollte das nicht geschehen werde ich mich aber hier nochmal melden, und ggf. genauer nachfragen können.

Danke!

16.02.2005, 21:53

Calvin

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Vorsorglich entschuldige ich mich schonmal für meinen Erklärstil. Ich kann nämlich nicht garantieren, dass ich das verständlich hinkriege Big Laugh

Big Laugh

Aber ein Versuch ist es auf jeden Fall wert smile

smile

Zitat:

Wenn ich mir dein Beispiel angucke, befürchte ich auch, dass ich es nicht verstanden habe. Allerdings haben wir bei diesem Themenbereich auch noch keine Variablen substituirt. (Wir sind noch nicht lange dabei, in dieser 'kompilizierteren' Form)

Dann kommt das sicher noch. Lass uns hier mal einen Anfang machen smile

smile

Zitat:

Was ich nicht verstehe: Wenn du bei meiner Ausgangsfunktion x² + k² durch t substituierst, kannst du damit doch das einzelne x des Zählers nicht substituieren, oder? Dann bliebe nochmal ein x über, dass aber bei der Substitution verschwinden müsste.

Berechtigter Einwand. Normalerweise müßtest du das x auf die gleiche Art substituieren. Du hast $\begin{eqnarray*} t=x^2+k^2 \end{eqnarray*}$ genommen. Das könntest du ja wieder nach x auflösen, und zwar $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{t-k^2} \end{eqnarray*}$ . Das müßtest du dann überall für x einsetzen, wo noch ein solches übrigbleibt. Du hast also gut mitgedacht Freude

Freude

In diesem speziellen Fall kann man aber das x erstmal so stehenlassen. Du siehst später, warum Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zunächst muß das dx ersetzt werden.

Zitat:

Mir ist nicht klar, wie du 'beide' Seiten nach x ableitest. Erstens ist mir nicht klar, was auf der 'anderen' Seite steht. Zweitens weiß ich nicht, wie ich nach x ableiten soll, wenn ich es gerade duch t substituiert habe.

Hier ist der Punkt, an dem ich mich mit dem Erklären ein bißchen schwer tue. Deshalb erkläre ich es dir anders. Das ist einfacher zu akzeptieren ;-)

Du hast $\begin{eqnarray*} t=x^2+k^2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt leitest du die linke Seite nach t ab und schreibst dt dahinter. Die rechte Seite leitest du nach x ab und schreibst dx dahinter. Das ergibt dann $\begin{eqnarray*} 1~dt=2x~dx \end{eqnarray*}$ . Das kannst du jetzt nach dx auflösen. Beachte aber, dass dt und dx jeweils zusammengehören. Es ergibt sich also $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$ .

Probiere jetzt mal selbst, die Substitution durchzuführen. Ersetze t=x^2+k^2 und das dx mit dem eben berechneten. Fällt dir selbst auf, warum du das x im Zähler vorhin nicht ersetzen mußtest?

So, mal sehen, wie weit du kommst smile

smile

16.02.2005, 22:19

Pionier

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nicht das ich wüsste das ich ihn kenne smile

smile

habe diese aufgabe aus meinem Mathe Lk Buch gewählt...
rein zufällig...

16.02.2005, 22:36

iammrvip

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Zitat:

Original von Calvin
Jetzt leitest du die linke Seite nach t ab und schreibst dt dahinter. Die rechte Seite leitest du nach x ab und schreibst dx dahinter. Das ergibt dann $\begin{eqnarray*} 1~dt=2x~dx \end{eqnarray*}$ . Das kannst du jetzt nach dx auflösen. Beachte aber, dass dt und dx jeweils zusammengehören. Es ergibt sich also $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$ .

Naja so könnte man es sagen.

Eigentlich ist es so:

Du kannst auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} t(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

jetzt leitest du beiden Seiten nach x ab

$\begin{eqnarray*} t'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

Man kann auch schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dt}{\mathrm dx} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} t'(x) \end{eqnarray*}$ , das eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dt}{\mathrm dx} = 2x \end{eqnarray*}$

Jetzt machen wir das, was eigentlich nicht geht, wir benutzen den Differentialquotienten als normalen Quotienten (was er nicht ist!) und rechnen $\begin{eqnarray*} \cdot \mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dt}{\mathrm dx} &= 2x ~ | ~ \cdot \mathrm dx \\ \mathrm dt &= 2x~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

das nach $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$ umgestellt ergibt:

$\begin{eqnarray*} \mathrm dx = \frac{\mathrm dt}{2x} \end{eqnarray*}$

16.02.2005, 22:43

Calvin

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Danke für die Hilfe mrvip. So ähnlich wollte ich es auch beschreiben. Freude

Freude

16.02.2005, 23:01

sebstey

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int~\frac{2x}{x^2+k^2}\,dx \end{eqnarray*}$

Hier substituiere ich x² + k² und ersetze dx durch den Term, den du vorgerechnet hast (ich meine das jetzt auch verstanden zu haben=.

Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int~\frac{2x}{t}\cdot\frac{1}{2x}\,dt = \frac{1}{2}\int~\frac{1}{t}\,dt = \int~\frac{1}{2t}\,dt \end{eqnarray*}$

dt ersetzt du nun in deinem Beispiel durch ein + c. Das c ist ja irrelevant bei einer Ableitung, soweit klar.
Aber ist es bis hierhin auch richtig?

Ersetze ich t jetzt schon wieder, oder muss ich erst eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} \end{eqnarray*}$ nehmen? e-Funktionen haben wir noch nicht besprochen, aber soweit ich weiß sind Funktion und ableitung bei $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ gleich.

Ich stehe noch stark aufm Schlauch, und bei jedem Ableitungsversuch kommt nur Schmarn raus, deswegen bin ich sicher mich da jedes mal zu vertun, und will mich nicht drauf verlassen.
Bin ich bis hierhin auf dem richtigen Weg?

16.02.2005, 23:14

iammrvip

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Zitat:

Original von sebstey
Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int~\frac{2x}{t}\cdot\frac{1}{2x}\,dt = \frac{1}{2}\int~\frac{1}{t}\,dt = \int~\frac{1}{2t}\,dt \end{eqnarray*}$

dt ersetzt du nun in deinem Beispiel durch ein + c. Das c ist ja irrelevant bei einer Ableitung, soweit klar.
Aber ist es bis hierhin auch richtig?

Bis hier hin ist alles richtig. Aber was du mit +c ersetzen meinst ist falsch.

Du kannst jetzt ganz normal integrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int~\frac{1}{t}~\mathrm dt \end{eqnarray*}$

Danach re-substituierst du.

17.02.2005, 08:17

sebstey

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Nächster Morgen und ich hinke immernoch hinterher:

Wie soll ich den Teil denn nun 'normal integrieren'?
Ich will ja kein Integral bestimmen und habe demnach auch keine Grenzen innerhalb derer ich integrieren will.

Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ sollte doch einfach $\begin{eqnarray*} ln \,t \end{eqnarray*}$ sein, oder?

Resubstituiere ich jetzt einfach t und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot ln (x^{2} + k^{2}) \end{eqnarray*}$ ?

Danke!

17.02.2005, 10:39

JochenX

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genau, das ist deine stammfunktion.... Freude

Freude

merke dir allgemein:
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~dx=ln( \mid f(x) \mid ) \end{eqnarray*}$

edit: latex wollte leerzeichen

17.02.2005, 13:23

iammrvip

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Zitat:

Original von sebstey
Resubstituiere ich jetzt einfach t und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot ln (x^{2} + k^{2}) \end{eqnarray*}$ ?

Die Integrationskonstante nicht vergessen Lehrer

Lehrer

!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\ln(x^2 + k^2) + C \end{eqnarray*}$

Und die allgemein Regel lautet auch

$\begin{eqnarray*} \int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx = \ln|f(x)| + C \end{eqnarray*}$

Die Integrationskonstanten gehört bei unbestimmten Integralen immer dazu Freude

Freude

.

17.02.2005, 14:45

sebstey

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Ich danke euch.
Im Unterricht haben wir die Aufgabe besprochen.

Jetzt kann ich das Vorgehen mit dem verbinden, was wir in anderem Zusammenhang vorher besprochen hatten.

Was mich am meisten ärgert, ist, dass ich gestern Abend beim Probieren, bevor ich hier geschrieben habe, zuerst die richtige Stammfunktion erhalten hatte (mehr oder weniger geraten, da ich die Regeln ja nicht kannte), die aber als falsch empfunden habe, da wir ln-Funktionen noch nie abgeleitet haben.

Also danke nochmal.
Ihr wart mir alle ne große Hilfe!

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