[zum Downloaden] Mittelwertsätze der Integral- und Differentialrechnung

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Gammafunktion Auf diesen Beitrag antworten »
[zum Downloaden] Mittelwertsätze der Integral- und Differentialrechnung
N'abend zusammen,

ich hab für ein Referat mal alles wichtige auf Mathe LK 12-Niveau über die Mittelwertsätze zusammengestellt inklusive Beweise und Anwendungen.

Wenn ihr es brauchbar findet, kann es ja mal ein Mod oben festpinnen.

Have fun#

http://www.philippmuenzel.de/scr/Mittelwertsaetze.sxw.pdf
http://www.philippmuenzel.de/scr/Mittelw...handout.sxw.pdf (kurze Zusammenfassung)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hab mal kurz in einer minute drübergeguckt, zu korrektheit will ich mal nichts sagen, aber sieht auf die schnelle ganz nett aus.
aber wo macht man denn sowas in der schule?! verwirrt
das ist doch fast schon grundvorlesungsniveau von den sätzen her.....
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED
z.B. in Sachsen in der 11. Klasse Big Laugh ; nur leider habe wir die Beweise nicht geführt...zu wenig Zeit


@Gammafunktion
Ich hab's mal überflogen, sieht interessant aus. Es würde mich auch wundern, wenn du Fehler drin hättest.

Ein Frage hättet ich trotzdem, warum schreibst du die Grenzen immer vors Integral verwirrt (Da du ja mit OpenOffice arbeitest: einfach int from{a} to{b} f(x) dx eingeben Augenzwinkern .

(PS: Mancherorts auch schon Mathe 11-LK Niveau Big Laugh )
Gammafunktion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Ein Frage hättet ich trotzdem, warum schreibst du die Grenzen immer vors Integral verwirrt (Da du ja mit OpenOffice arbeitest: einfach int from{a} to{b} f(x) dx eingeben Augenzwinkern .


Ahh. Gute Idee, danke für den Rat. Ich werds mal ausprobieren.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ne gute Zusammenfassung, Kompliment!
Aber ich möchte doch auf die Korrektheit eingehen, denn ganz so würd ich das nicht sofort als wichtig markieren. Augenzwinkern
Erstmal solltest du das mit der "einen Stelle, wo f'>0 ist" noch mit "O.B.d.A." kennzeichnen.
Allerdings ist der Beweis des Satzes von Rolle leider unvollständig.
In der Annahme des Satzes steht nicht, dass du f stetig diff'bar annimmst, sondern nur dass f diff'bar ist. Im Beweis benutzt du aber, dass f' stetig ist, was nicht der Fall sein muss!
Du könntest natürlich den Zwischenwertsatz für Ableitungen benutzen, falls du diesen kennst.

"Man kann aber auch anders argumentieren: [...]"
Da müsstest du auch erstmal zeigen, dass es ein Maximum oder ein Minimum gibt.

Beim Beweis des MWS der Integralrechung solltest du vielleicht erwähnen, wo du das alles hernimmst. Jmd, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (den ich im folgenden nur mit "Hauptsatz" bezeichnen werde) nicht kennt, hat keine Ahnung, wie du das alles schlussfolgerst. Sicherlich ist das eher selten, aber auch von der mathematischen Korrektheit (auf die sicherlich in der Schule wiederum kein großer Wert gelegt wird ...) her ist das einfach besser, wenn man das erwähnt. Außerdem ist es auch von der Reihenfolge her etwas konfus und unübersichtlich aufgeschrieben, die logische Reihenfolge ist mMn also etwas durcheinander geraten. Deswegen würde ich das so aufschreiben:

Da f auf stetig ist, existiert nach dem Hauptsatz eine Stammfunktion F zu f auf [a,b], also ist . Nach dem MWS der Differentialrechnung gibt es ein mit oder also .
Aus dem Hauptsatz folgt außerdem . Damit geht die obige Gleichung über in



Ist es beabsichtigt, dass Korollar 2 und der vorherige verallgemeinerte MWS der Integralrechnung nicht bewiesen sind?

Das wären so kleinere Kritikpunkte, aber im Großen Ganzen find ich die Übersicht, wie schon gesagt, sehr gut.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

sieht alles ganz nett aus. smile

Eine Frage habe ich an MSS.Du sagtest der Satz von Rolle sei unvollständig bewiesen.

Meine Frage: Meinst du jetzt,dass in der Annahme die Bedingung fehlt,dass f stetig ist? Oder meinst du,dass die Funktion an sich in [a;b] nicht unbedingt stetig sein muss,damit der Satz von Rolle gilt?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Ich meine, dass er die Tatsache, dass stetig ist, im Beweis benutzt, das allerdings nicht voraussetzt.
Aber sinngemäß meine ich beides: muss nicht stetig sein, deswegen ist sein Beweis unvollständig.
Aber es fehlt auch in der Annahme des Satzes. Wenn er die Annahme abschwächt und noch hineinschreibt, dass er annimmt, dass stetig ist, dann wird der Beweis korrekt.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antwort.

Gut die abgeschwächte Variante hab ich dann verstanden.Wäre der Beweis wesentlich länger,wenn man davon ausgeht,dass f' nicht unbedingt stetig sein muss?Oder besser gesagt,welches der beiden Möglichkeiten ist so der Standart?Wird f' stetig vorausgesetzt oder nur selten?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also es ist mMn sehr unüblich, f' als stetig vorauszusetzen. Das passiert vielleicht nur, wenn der Satz von Rolle mal in der Schule erwähnt wird, weil da sowieso die Ableitungen aller dort betrachteten Funktionen stetig sind.
Allerdings wäre es sowieso eine riesige Ausnahme, den Satz in der Schule zu erwähnen.
Wesentlich länger würde er nicht unbedingt. Aber auf jeden Fall würde er ganz anders aussehen, man würde anders argumentieren.

Übrigens ist hier noch eine Voraussetzung angegeben, die man normalerweise auch nicht findet. Er setzt voraus, dass f auf diff'bar ist, man muss es aber nur auf voraussetzen. Allerdings muss man die Stetigkeit in a und in b trotzdem weiter beibehalten.
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