Rotationskörper um y-Achse

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17.02.2005, 14:12	paesci	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper um y-Achse hallo zusammen, ich habe schon wieder ein Problem: "Die "Parabel" 3. Ordnung $\begin{eqnarray} y=\frac{x^{3}}{3} \end{eqnarray}$ dreht sich um die y-Achse. Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers zwischen den Ebenen y=1 und y=3!" Die Formel für die Volumenberechnung lautet ja folgendermassen: $\begin{eqnarray} \pi\int_{b}^{a}~x^{2}~dy \end{eqnarray}$ Also stelle ich die Funktion nach x^2 um. Doch daran scheitere ich! Vorschlag: $\begin{eqnarray} (3y)^{\frac{2}{3}}=x^{2} \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit??
17.02.2005, 15:08	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es dir so schwerer fällt (Ergebnis ist richtig), kannst du auch erstmal $\begin{eqnarray} y = \frac{x^3}{3} \end{eqnarray}$ nach x um und danach kannst du immer noch quadrieren . Damit kommst du auch auf: $\begin{eqnarray} (3y)^\frac{2}{3} = x^2 \end{eqnarray}$
17.02.2005, 15:46	paesci	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke erstmal. und wie fahre ich jetzt weiter?? $\begin{eqnarray} \pi\int_{1}^{3}~(3y)^{\frac{2}{3}}~dx \end{eqnarray}$ wie intergiere ich das jetzt richtig? $\begin{eqnarray} \pi[(\frac{9}{5}y)^{\frac{5}{3}}]_{1}^3 \end{eqnarray}$ Stimmt das, oder habe ich mit der Klammer vertan?? als Lösung hätte ich dann ca. 43,85 VE.
17.02.2005, 15:52	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Stammfunktion stimmt nicht Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray} \frac{9}{5} \end{eqnarray}$ in der Klammer Wenn du etwas in die Klammer ziehst, musst du auch die Potenz der Klammer beachten . Wenn du es nicht so siehst kannst du auch substituieren (lineare Substitution). $\begin{eqnarray} u = 3y \end{eqnarray}$
17.02.2005, 16:03	paesci	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie komme ich nicht dahinter, wie ich das integrieren soll. Die Klammer stört mich einfach. Mein Weg: $\begin{eqnarray} \frac{(3y)^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} \end{eqnarray}$ dann mit 3/5 multiplizieren....
17.02.2005, 16:08	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst du mit Substitution machen. $\begin{eqnarray} u = 3y \end{eqnarray}$ und dann eben $\begin{eqnarray} \mathrm du = 3 \end{eqnarray}$ , dann erhälst du die richtige Stammfunktion .
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17.02.2005, 16:15	paesci	Auf diesen Beitrag antworten »
?? komme dann auf $\begin{eqnarray} \frac{15}{9}u^{\frac{5}{3}} \end{eqnarray}$ stimmt das?
17.02.2005, 16:31	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du substituierst: $\begin{eqnarray} \int (3y)^\frac{2}{3}~\mathrm dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u = 3y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathrm dx = \frac{\mathrm du}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\int u^\frac{2}{3}~\mathrm du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}u^\frac{5}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{5}(3y)^\frac{5}{3} \end{eqnarray}$
17.02.2005, 16:40	paesci	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt das jetzt?? achso, langsam wird mir das klar. vielen dank für den ausführlichen Weg!! Wenn ich das nun wieder in die ursprüngliche Aufgabe einsetze: $\begin{eqnarray} [\pi\frac{1}{5}(3y)^{\frac{5}{3}}]_{1}^3 \end{eqnarray}$ Ausgerechnet ergibt sich folgendes: $\begin{eqnarray} 24,47-3,92=20,55 \end{eqnarray}$
17.02.2005, 16:45	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt
17.02.2005, 19:39	paesci	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke dir vielmals!!
17.02.2005, 22:36	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Bidde schön .

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