Trägheitsmoment

17.02.2005, 13:34

unbekannt

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Trägheitsmoment

Hallo,

gegeben sei ein Quader mit den Seitenlängen a,b,c .
Die Seitenflächen seien jeweils parallel zur xy,xz bzw. yz Ebene.
Der Schwerpunkt des Quaders liegt im Ursprung.
Ist $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ ein Vektor
wie groß ist dann das Trägheitsmoment des um die
Achse $\begin{eqnarray*} \Bbb{R}\cdot v \end{eqnarray*}$ rotierenden Quaders.
Komplettlösungen sind erwünscht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke!

17.02.2005, 13:36

derkoch

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komplettlösungen gibt es nicht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.02.2005, 15:42

JochenX

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koch, immer schön auf den userguide verweisen.
ist das nicht eher physik? verwirrt

verwirrt

17.02.2005, 17:11

AD

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Ist schon Physik, aber wenn man den Ansatz hat, dann ist der Rest ein bisschen Vektorrechnung und Integration.

17.02.2005, 17:15

kurellajunior

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RE: Trägheitsmoment
Soweit ich weiß existieren fertige Trägheitsmomentformeln für idealisierte Stäbe, da der Quader relativ gleichmäßig ist, könnte man ihn auf eine SchwerStrecke reduzieren und dann rotieren lassen, oder?

Jan

18.02.2005, 08:37

unknown

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und nu?

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18.02.2005, 08:53

kurellajunior

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Trägheitsmomente lassen sich für "schöne" Körper herleiten bzw. stehen im Tafelwerk. Ein Quader, der um eine beliebige Achse rotiert, ist wirklich nicht schön, sondern ganz schön kantig.

Kannst Du denn die Trägheitsomente für einen Massepunkt, einen Kreisring eine Kreisscheibe einen Zylinder eine Kugel selber herleiten? Wenn ja, dann brauchst Du "nur" noch eine schöne Funktion, die Deinen Quader beschreibt und anstelle der Zylinder- oder Kugelfunktion einsetzen. Wenn Du dann beim integrieren nicht weiterkommst, dann stell die Frage hier rein. Der Rest ist wriklich Physik, und da frag lieber im Physikboard (s.o.) oder bei wiki nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jan

18.02.2005, 09:08

AD

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RE: Trägheitsmoment
Geben wir mal einen Ansatz: Es ist

$\begin{eqnarray*} J=\int~r^2~dm \end{eqnarray*}$

wobei die Masse $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ homogen (mit Dichte $\begin{eqnarray*} \varrho=\frac{m}{V}=\frac{m}{abc} \end{eqnarray*}$ ) über das Quadervolumen verteilt sei. Folglich ist $\begin{eqnarray*} dm=\varrho\cdot dV=\varrho\cdot dx~dy~dz \end{eqnarray*}$ und man erhält

$\begin{eqnarray*} J=\varrho\cdot \int\limits_{x=-a/2}^{a/2}\int\limits_{y=-b/2}^{b/2}\int\limits_{z=-c/2}^{c/2}~\left(r(x,y,z)\right)^2~dx~dy~dz \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} r(x,y,z) \end{eqnarray*}$ der Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ des Quaders von der Achse $\begin{eqnarray*} \Bbb{R}\cdot\vec{v} \end{eqnarray*}$ . Und für diesen Abstand brauchst du jetzt noch ein wenig Vektorrechnung...

18.02.2005, 09:21

kurellajunior

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RE: Trägheitsmoment
@Arthur: nicht nur Mathe, sondern auch angewandt aus dem Hut! Freude

Freude

*SchwerBeeindruckt* Ich muss für sowas immer nachgucken...

Jan

18.02.2005, 09:28

AD

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RE: Trägheitsmoment
Die eigentliche Rechnung steht ja noch bevor, aber ich wollte zumindest schon mal den eher formalen "Physik-Teil" erledigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.02.2005, 09:37

kurellajunior

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RE: Trägheitsmoment
woher weißt du eigentlich das x mit c, y mit b und z mit a zusammengehört, oder ist das einfach eine Festlegung, oder bin ich mir Brett vorm Kopp?

Jan

18.02.2005, 10:08

AD

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RE: Trägheitsmoment
Ich habe den Quader achsenparallel und schwerpunktzentriert in das x-y-z-Koordinatensystem gelegt, und zwar so, dass die Länge a parallel zur x-Achse, Breite b parallel zur y-Achse und Höhe c parallel zur z-Achse liegt. Kannst du natürlich auch anders "permutieren", das letztendliche Trägheitsmoment muss aber natürlich (bei entsprechender Permutation der Komponenten des Richtungsvektors v) bezüglich dieser Festlegung invariant sein.

18.02.2005, 10:17

kurellajunior

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RE: Trägheitsmoment
Warum dann

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} J=\varrho\cdot \int\limits_{x=-a/2}^{a/2}\int\limits_{y=-b/2}^{b/2}\int\limits_{z=-c/2}^{c/2}~\left(r(x,y,z)\right)^2~dx~dy~dz \end{eqnarray*}$

Und nicht
$\begin{eqnarray*} J=\varrho\cdot \int\limits_{x=-a/2}^{a/2}\int\limits_{y=-b/2}^{b/2}\int\limits_{z=-c/2}^{c/2}~\left(r(x,y,z)\right)^2~dz~dy~dx \end{eqnarray*}$

Oder ist die Reihenfolge egal?

Jan

18.02.2005, 10:29

AD

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RE: Trägheitsmoment
Ok, Ok, eigentlich hast du recht - aber was denkst du, warum ich $\begin{eqnarray*} x=-a/2 \end{eqnarray*}$ statt nur $\begin{eqnarray*} -a/2 \end{eqnarray*}$ usw. unten an die Integrale geschrieben habe? Damit ich mir die Freiheit des Aufschreibens in beliebigen Reihenfolge erhalte! Aber richtig, machen wir es mal "korrekt" Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

$\begin{eqnarray*} J=\varrho\cdot \int\limits_{x=-a/2}^{a/2}\int\limits_{y=-b/2}^{b/2}\int\limits_{z=-c/2}^{c/2}~\left(r(x,y,z)\right)^2~dz~dy~dx \end{eqnarray*}$

18.02.2005, 10:31

kurellajunior

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RE: Trägheitsmoment

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ok, Ok, eigentlich hast du recht - aber was denkst du, warum ich $\begin{eqnarray*} x=-a/2 \end{eqnarray*}$ statt nur $\begin{eqnarray*} -a/2 \end{eqnarray*}$ [...]

Oonk,

Hammer

Ich wusste doch, Brett vorm Kopf, hab ich übersehen... So kanns gehen... Danke Dir. Bin gespannt ob der Threadstarter noch mitmacht.

Jan

18.02.2005, 16:26

unknown

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Ist $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ normiert also $\begin{eqnarray*} |\vec{v}|=1 \end{eqnarray*}$ dann müsste doch
$\begin{eqnarray*} \text{dist}^2(\vec{u},\Bbb{R}\vec{v})=\vec{u}^2-(\vec{u}\odot\vec{v})^2 \end{eqnarray*}$ sein.
Und somit ist $\begin{eqnarray*} (r(x,y,z))^2=x^2+y^2+z^2-xv_1-yv_2-zv_3 \end{eqnarray*}$
Soweit noch richtig?

18.02.2005, 16:35

AD

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Zitat:

Original von unknown
Ist $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ normiert also $\begin{eqnarray*} |\vec{v}|=1 \end{eqnarray*}$ dann müsste doch
$\begin{eqnarray*} \text{dist}^2(\vec{u},\Bbb{R}\vec{v})=\vec{u}^2-(\vec{u}\odot\vec{v})^2 \end{eqnarray*}$ sein.

Richtig, falls du mit $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt meinst.

Zitat:

Original von unknown
Und somit ist $\begin{eqnarray*} (r(x,y,z))^2=x^2+y^2+z^2-xv_1-yv_2-zv_3 \end{eqnarray*}$
Soweit noch richtig?

Nein - Skalarprodukt falsch (oder genauer gesagt: gar nicht) quadriert.

19.02.2005, 10:05

unknown

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Hi Arthur,

oops da habe ich gepfuscht! Hammer

Hammer

Ist jetzt $\begin{eqnarray*} v\in\Bbb{R}\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ irgendein Vektor
der nicht notwendigerweise normiert ist so
ist $\begin{eqnarray*} \text{dist}^2\left(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix},\Bbb{R}\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix} \right)=x^2+y^2+z^2-\frac{(xv_1+yv_2+zv_3)^2}{v_1^2+v_2^2+v_3^2} \end{eqnarray*}$
Laut Maple factor(%) ist nun
$\begin{eqnarray*} J=\rho\frac{abc}{12}\left(a^2+b^2+c^2-\frac{a^2 v_1^2+b^2 v_2^2+c^2 v_3^2}{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\right) \end{eqnarray*}$

Bassts jetzt?

19.02.2005, 10:17

AD

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"Dös basst!" *g*

Schön, wenn man Maple zum Integrieren verwenden kann, obwohl man das bei den hier vorliegenden bloßen Polynomen auch so noch schafft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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