Definitheit

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MATA Auf diesen Beitrag antworten »
Definitheit
Hallo, ich hätte da mal eine Frage:
In welchem Fall ist eine 3x3 Matrix A semidefinit und wann indefinit, wenn det A = 0 ist?
(Wir haben das Kriterium von Hurwitz benutzt, um die Definitheit von symmetrischen Matrizen zu bestimmen und haben den Begriff der Eigenwerte nicht verwendet.)
Vielen Dank im Voraus.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das Kriterium von Hurwitz

ist das dieses?

det(A)<0 dann A indefinit
det(A)>0, dann A definit, wenn der "erste Eintrag">0, dann psositiv definit, wenn selbiger eintrag<0, dann negativ definit?

oder irre ich mich da total?
 
 
MATA Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist es. Nur werde ich aus den Unterlagen nicht so ganz schlau, wie es bei der Situation det A = 0 ist.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich erinnere mich, muss mal meine unterlagen raussuchen.....
glaube aber, dazu stand bei usn auch nichts drin.......
wir hatten uns damals beim lernen auf die anaklausuren zusätzlich noch mit dem fall det(A)>0 und erster eintrag =0 geplagt.....
ich weiß gar nicht mehr, ob wir da eine antwort gefunden hatten....

vielleicht kann uns ja jemand erhellen Augenzwinkern
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie habe ich den Eindruck ihr macht euch die Sache zu einfach. zB
2 0 0
0 -1 0
0 0 -1
diese Matrix ist indefinit, aber det ist +2 und der erste Eintrag oben ist +2 also positiv
die genaue Def ist alle Eigenwerte >= 0 pos def und alle <= 0 neg def
Wenn man das ohne eigenwerte nachprüfen will geht das auch mit determinanten aber man braucht (für 3x3 Matrizen) noch die obere 2x2 Matrix in meinem BSP
2 0
0 -1
wenn deren det, die det der ganzen Matrix und der Eintrag oben links alle >=0 sind, pos def
wenn die 2x2 Matrix det >=0 und die anderen beiden <= 0 dann neg def
wobei wenn einmal genau 0 aufgetaucht ist, jeweils nur semi
in allen andern Fällen indefinit
ich hoffe meine Abkürzungen stören nicht, aber ich hatte keine Lust ein dutzend mal Determinante, definit usw auszuschreiben Augenzwinkern
MATA Auf diesen Beitrag antworten »

In meinen Unterlagen steht als Beispiel
ist semidefinit und
ist indefinit
Es taucht aber in beiden Fällen einmal genau 0 auf, denn es gilt det A = 0.
Mir ist schon klar, dass ich die obere 2x2 Matrix und den Eintrag oben links auch noch betrachten muss, aber mir ist nicht klar, welche Kriterien dann für semi- und indefinit erfüllt sein müssen.
Für 2x2 Matrizen gilt ganz einfach: Ist det(A) = 0, dann folgt daraus A ist semidefinit, aber 3x3 ist mein Problem....
(@ LOED det(A) > 0 und erster Eintrag gleich 0 gilt bei uns als indefinit.)
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wikipedia sagt folgendes:

Eine quadratische Matrix A heißt

* positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind,
* positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind,
* negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind,
* negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind
* indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.

Äquivalent dazu ist die Matrix A positiv definit, falls nach dem Hurwitz-Kriterium alle Hauptminoren von A größer als Null sind. Umgekehrt ist A negativ definit, falls alle Hauptminoren von -A größer Null sind.

Gruß
Anirahtak
MATA Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das ohne Eigenwerte gemacht, da wir den Begriff der Eigenwerte eigentlich nicht kennen. Positiv und negativ definit nach dem Hurwitz Kriterium ist leicht, das ist mir ja auch klar. Es geht um indefinit und semidefinit OHNE Eigenwerte.
MATA Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt, dass ich nochmal frage, das soll man ja eigentlich nicht, aber ich habe am Freitag mündliche Prüfung und bin langsam ziemlich nervös. geschockt
Hat jemand vielleicht doch noch eine Regel ohne Eigenwerte zur Hand? Die gehören nämlich nicht zum Prüfungsstoff und ich darf sie deswegen auch nicht verwenden....
Seimon Auf diesen Beitrag antworten »

ich werf mal was hin was mir dazu einfällt - vielleicht ists blödsinn vielleicht fällt aber jemanden dann mehr dazu ein:

ich bild mir ein da war was mit:

"Eine Matrix ist positiv definit wenn alle nordwestlichen Unterdeterminanten positiv sind"

verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
anirahtak:
Äquivalent dazu ist die Matrix A positiv definit, falls nach dem Hurwitz-Kriterium alle Hauptminoren von A größer als Null sind.

ich glaube, das ist das gleiche, oder?
Seimon Auf diesen Beitrag antworten »

Schaut ganz so aus Big Laugh

Oke ich bin schlauer geworden und weiss jetzt was Hauptminoren sind Gott
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

[zugeb]ich hab damals auch gegoogelt[/zugeb]

an katharina oder andere:
wenn dann alle bis auf eine hauptminordeterminante echtgrößer 0 und die letzte =0 ist, dann ist das ganze positiv semidefinit, oder?

@MATA: ist das nicht sowas, wie dus suchst?
MATA Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich das also jetzt richtig verstanden:
Wenn alle Hauptminoren größer 0 sind und die Determinante der gesamten Matrix gleich 0, dann ist es semidefinit und sobald einer der Hauptminoren kleiner 0 ist und die Determinante der gesamten Matrix gleich 0, dann ist es indefinit?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

also ich denke, dass ist so:


wenn alle hauptminoren eine determinante
a) >0
b) >=0
c) <0
d) <=0

haben, so ist die matrix
a) positiv definit
b) pos. semidefinit
c) neg. definit
d) neg. semidefinit

existiert ein hauptminor mit determinante >0 und ein anderer mit det <0, dann ist sie indefinit.

mfg jochen
MATA Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, damit kann ich was anfangen. Bei einem Thema bin ich jetzt schonmal beruhigt Augenzwinkern
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

in meiner LinAlg-Vorlesung kam ausschließt der Begriff "positv definit" vor, drum muss ich eigentlich passen, aber: ich habe folgendes gefunden:

efinitheit" target="_blank">http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/...9_24}efinitheit

Da steht alles drauf! smile

Gruß
Anirahtak


EDIT: Oups, zu früh gefreut. Das gilt dort alles nur für symmetrische Matrixen...
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

den "ich denke" Post von LOED kann ich bestätigen, ist so, brauchst dir keine Gedanken zu machen ;-)
ich hatte auch gehofft, das man genau das aus meinem ersten Post rauslesen kann, aber ich habe scheinbar nur eine Zusammenfassung für die, die es schon wissen und keine Erklärung für die, die es lernen wollen, geschrieben Hammer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quarague
den "ich denke" Post von LOED kann ich bestätigen, ist so, brauchst dir keine Gedanken zu machen ;-)
ich hatte auch gehofft, das man genau das aus meinem ersten Post rauslesen kann, aber ich habe scheinbar nur eine Zusammenfassung für die, die es schon wissen und keine Erklärung für die, die es lernen wollen, geschrieben Hammer

öhm, also ich hatte das zwar schon mal in dem zusammenhang gehört, aber hab das jetzt wieder gelernt und ich fand deinen beitrag eigentlich ganz gut verständlich.
also brauchst du dir auch keine gedanken zu machen (:
MATA Auf diesen Beitrag antworten »

@Anirahtak
Wir behandeln auch nur symmetrische Matrizen, deswegen ist das super Freude
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Begriffe wie positiv definit usw. im Zusammenhang mit quadratischen Matrizen sind stets auf symmetrische Matrizen gemünzt, weil das vollkommen ausreichend ist:

Für beliebige quadratische nxn-Matrizen (mit reellen Koeffizienten) gilt nämlich

für alle n-Vektoren ,

wobei die zu gehörige "symmetrisierte" Matrix ist. Auch die Kriterien mit den Eigenwerten beziehen sich stets auf und nicht auf !
letonin Auf diesen Beitrag antworten »

afaik kann man mit dem Hurwitz Kriterium nur überprüfen ob eine Matrix
positiv oder negativ definit ist.
Wenn bei der Berechnung der Unterdeterminanten 0 rauskommt oder abwechselnd positive / negative Werte, dann macht das Hurwitz Kriterium keine Aussage und man muss es mit den Eigenwerten überprüfen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Und für diese Überlegung hast du 4,5 Jahre gebraucht? Big Laugh
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