RE-Matrix (3x3)

17.02.2005, 15:50

Austi

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RE-Matrix (3x3)

Hallo, ich bins mal wieder! smile

smile

Also ich soll Folgendes lösen:

Es ist folgende Rohstoff-Endprodukt-Matrix gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & 8 & 13 \\ 8 & 20 & 26 \\ 11 & 8 & 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auf dem Lager liegen 785 r1, 1410 r2 und 785 r3!

Frage: Wie viele Endprodukte können wir produzieren?

Anmerkung: Von e2 und e3 müssen wir zusammen genau 55 Mengeneinheiten herstellen!

Sooo.... hier mein Lösungsansatz:

Zunächst einmal können wir die Matrix doch folgendermaßen darstellen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 8 & 20 & 26 & | & 1410 \\ 11 & 8 & 13 & | & 785 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Zeilenweise: r1, r2, r3 + Spaltenweise: e1, e2, e3)

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 8 & 20 & 26 & | & 1410 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 22 & 16 & 26 & | & 1570 \\ 14 & -4 & 0 & | & 160 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> Hier hänge ich jetzt leider fest... Weiß jemand, wie ich weitermachen kann??

MfG
Austi

17.02.2005, 15:54

JochenX

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ich nehme einfach mal an, dass stimmt bisher.....
dann vereinfache mal die zeilen erst: (8 4 2 | 22) z.b. kann man zu (4 2 1 | 11) vereinfachen....

danah hast du noch ein LGS mit 2 gleichungen und 3 unbekannten....w
ähle z.b. x3 als parameter t und gib dann die lösungsmenge in abhängigkeit von t an.

mfg jochen

17.02.2005, 15:59

Austi

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Zitat:

Original von LOED
wähle z.b. x3 als parameter t und gib dann die lösungsmenge in abhängigkeit von t an.

also verienfacht habe ich es jetzt mal, dann kommt da folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 7 & -2 & 0 & | & 80 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allerdings verstehe ich nicht, was du da jetzt als weiteren schritt (siehe zitat) machen möchtest!

MfG
Austi

17.02.2005, 16:24

JochenX

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x3=t, dann verbleibt ein lgs mit 2 gleichungen und 2 unbekannten.
das lgs hängt dabei von t ab.
dann kannst du auch x1 und x2 in abhängigkeit von t berechnen.
du hast dann nachher für jedes t aus IR eine andere lösung, insgesamt einen eindimensionalen lösungsraum.......

17.02.2005, 19:25

Austi

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kannst du das eventuell mal grade an meinem Beispiel vormachen?? smile

smile

Wäre sehr sehr freundlich!

MfG
Austi

17.02.2005, 19:41

JochenX

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ich machs mal aus einem einfacheren 2x2 beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
2. gleichung ist plötzlich weggefallen, also x2=t setzen.
damit ist dann x1=2-t

also lösungsmenge: L={ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ }

mfg jochen

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18.02.2005, 08:51

Austi

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Zitat:

Original von Austi
also verienfacht habe ich es jetzt mal, dann kommt da folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 7 & -2 & 0 & | & 80 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In Ordnung, aber ich habe ja bei dieser Gleichung noch gar keine Zeile mit 1... also für x1,x2 oder x3 einen festen Wert... Das ist ja auch im Moment mein Problem... Ich komme nicht auf so eine Zeille 0 0 1, 0 1 0, 1 0 0 ...

MfG
Austi

18.02.2005, 13:01

JochenX

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x3=t wie gehabt....
schreib doch mal das daraus entstehende 2x2LGS auf.....

18.02.2005, 18:56

Austi

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x3=t ???
soll ich dann 13=t setzen?? außerdem habe ich doch einen 3x3 matrix und keine 2x2...

Es würde mir echt helfen, wenn du mir sagst, wie das jetzt zu ende geht smile

smile

Lieben Dank schonmal
Austi

19.02.2005, 10:35

Anirahtak

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Hallo Austi,
ne fertig gerechnet wird hier nicht.

Wie du jetzt festgestellt hast, hat das System nicht nur eine Lösunge (2 Gleichungen mit 3 Unbekannten). Um jetzt alle Lösungen zu bekommen, legst du eines der x_i fest, eben setzt x_3=t und schaust jetzt, welche Lösungen sich (in Abhängigkeit von dem t) ergeben. Mit dem festen t hast du dann nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und das solltest du lösen können.
Dadurch dass du das x_3 zwar "festgehalten" hast, ihm aber keine konkrete Zahl zugeordnet hast, erhälst du dann alle Lösungen (halt in Abhängigkeit von dem t).

Was du jetzt also machen musst ist:
Setze eines der x_i gleich einem Parameten, eben z.B. x_3=t.
Dann behandle das t so, also wäre es eine feste Zahl und löse das Gleichungssystem für x_1 und x_2.

Probiers mal.
Gruß
Anirahtak

19.02.2005, 10:47

Austi

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Guten Morgen!

Ich will auch gar nicht, dass das hier zuende gerechnet wird, aber ich verstehe es auch nicht... ich brauche doch 1zen in den zeilen... so habe es jetzt mal versucht:

(1) $\begin{eqnarray*} 11*x_1+8*x_2+13*t=785 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} 7*x_1-2*x_2=80 \end{eqnarray*}$

aber was soll ich damit?? ich würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand sagen würde, was dahin kommt! smile

smile

MfG
Austi

19.02.2005, 11:10

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Ich muss mich mal für die Kollegen entschuldigen: Bei der hier erreichten reduzierten Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 7 & -2 & 0 & | & 80 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist es taktisch unklug, gerade $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ zu parametrisieren - man sollte des geringeren Rechenaufwands wegen besser eine der Variablen nehmen, deren Koeffizient in Zeile 2 von Null verschieden ist, also $\begin{eqnarray*} x_1=t \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2=t \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x_1=t \end{eqnarray*}$ erhält man das reduzierte System
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 & x_3 & | &\\\hline 8 & 13 & | & 785-11t \\ -2 & 0 & | & 80-7t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit nach wie vor vorhandener Dreiecksmatrix - die geht bei Wahl von $\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$ verloren!

19.02.2005, 11:32

Austi

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Hallo Arthur Dent!

Ja, du musst Dich nicht für Anirahtak entschuldigen! Sie hat es ja nur gut gemeint! smile

smile

Desweiteren finde ich die Wahl für x1=t auch besser!

Wenn man jetzt in Deinem System
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 & x_3 & | &\\\hline 8 & 13 & | & 785-11t \\ -2 & 0 & | & 80-7t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die zweite Zeile durch (-2) teilt ergibt sich mMn Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 & x_3 & | &\\\hline 8 & 13 & | & 785-11t \\ 1 & 0 & | & \frac{80-7t}{-2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da mir ja bekannt ist, dass von x2 und x3 genau 55 ME hergestellt werden... habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{80-7t}{-2} \end{eqnarray*}$ gleich 55 gesetzt und erhalte am Ende für t bzw. x1 $\begin{eqnarray*} 27\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Was meint ihr dazu??

MfG
Austi

19.02.2005, 11:38

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Zitat:

Original von Austi
Da mir ja bekannt ist, dass von x2 und x3 genau 55 ME hergestellt werden...

Eine Frage: Wenn du diese Information hast, warum hast du dann nicht gleich das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 8 & 20 & 26 & | & 1410 \\ 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 0 & 1 & 1 & | & 55 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
betrachtet, wobei du die dritte Zeile aufgrund offensichtlicher Gleichheit zur ersten Zeile auch gleich hättest streichen können.

19.02.2005, 11:42

Austi

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Oh ja, du hast recht.... Aber wenn du dir die Aufgabenstellung so durchliest, passt der Rest doch, oder?? Ich meine, wo ich die 785 und die 1410 hingeschrieben habe??

Also ich fahre jetzt erstmal einkaufen und löse danach dieses Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 8 & 20 & 26 & | & 1410 \\ 11 & 8 & 13 & | & 785 \\ 0 & 1 & 1 & | & 55 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> das stimmt aber wie gesagt dann (bei genauer Beachtung der Aufgabenstellung), oder??

MfG
Austi

19.02.2005, 11:46

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Ja, keine Einwände (sonst hätte ich die schon geltend gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

19.02.2005, 13:03

Anirahtak

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Zitat:

Original von Austi
Ja, du musst Dich nicht für Anirahtak entschuldigen! Sie hat es ja nur gut gemeint! smile

smile

Stimmt.

Ich wollte dir eigentlich die Idee dahinter ganz allgemein erklären, ohne mich konkret auf die Aufgabe zu beziehen. Habe nur den Vorschlag von LOED aufgegriffen.

Gruß
Anirahtak

19.02.2005, 14:56

Austi

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Also ich bin jetzt soweit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 22 & 16 & 26 & | & 1570 \\ 14 & -4 & 0 & | & 160 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 55 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> das stimmt erstmal so, oder??

MfG
Austi

19.02.2005, 15:53

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Richtig ist es, aber bei konsequenter Fortsetzung des Gauß-Algorithmus musst du natürlich auch in der letzten Zeile in der dritten Spalte eine Null erzeugen!

19.02.2005, 16:32

Austi

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ganz genau... und das klappt bisher irgendwie nicht....

MfG
Austi

19.02.2005, 16:35

AD

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(neue letzte Zeile) = (alte letzte Zeile) - 1/26 * (erste Zeile) !!!

Von mir aus auch, wenn dir so an ganzen Zahlen liegt:

(neue letzte Zeile) = 26*(alte letzte Zeile) - (erste Zeile)

19.02.2005, 16:44

Austi

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Ok, wenn ich das so mache, komt bei mir:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 22 & 16 & 26 & | & 1570 \\ 14 & -4 & 0 & | & 160 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 22 & -10 & 0 & | & 140 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber so habe ich ja immer noch nicht einen wert für x1, x2 oder x3... wie komme ich denn darauf??

MfG
Austi

19.02.2005, 20:21

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Na z.B. die -10 in der letzten Zeile eliminieren, mit Hilfe der zweiten Zeile - wie üblich beim Gaußschen Eliminationsverfahren
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsc...ationsverfahren

Und werf endlich die dritte Zeile weg (wie von mir schon am Anfang empfohlen), die ist doch nur unnützer Ballast!

20.02.2005, 12:34

Austi

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Mahlzeit zusammen!

Ja, ich glaube, dass ich das jetzt verstanden habe...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 20 \\ 0 & 1 & 0 & | & 30 \\ 0 & 0 & 1 & | & 25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So lautet meine Endmatrix... Stimmt die so??

Mein Antwortsatz: Vom Endprodukt1 können wir 20, vom Endprodukt2 30 und vom Endprodukt3 25 produzieren....

MfG
Austi

P.S. Dankeschön für Eure Hilfe!!!

20.02.2005, 13:26

AD

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Freude

20.02.2005, 13:33

Austi

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Super!! Dann nochmals vielen lieben Dank... So eine Aufgabe müsste ich jetzt auch in der Klausur hinbekommen!!

Lieben Gruß
Austi

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