Bogenlänge berechnen bzw. Problem bei der Integralrechnung

28.07.2007, 10:45	Steffi8888	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge berechnen bzw. Problem bei der Integralrechnung Hi Leute, mir ist bei meiner Vorbereitung auf die Klausur ein bisher noch nicht bewusstgewordenes Problem aufgetreten. Und zwar bei der Thematik Bogenlänge. Aber vielleicht ist es auch nur ein Problem bei dem Verständnis das Integral zu berechnen. Ich werde euch hier mal drei Integrale aufschreiben, und die zuvor errechneten Schritte sind glaube ich unwichtig. Also die Berechnung der ersten aAbleitung von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ bzw. den Betrag davon. I) $\begin{eqnarray} L( \gamma (t)) = \int_{0}^{2 \pi}~2 \mid cos \frac {t}{2} \mid ~dt = 2 \cdot 2 \int_{0}^{\pi}~cos \frac {t}{2}~dt \end{eqnarray}$ Hier verstehe ich nicht, warum jetzt prlötzlich die Betragsstriche entfernt werden konnten. Und warum man die Grenzen beim Integral umändern konnte und eine 2 davor setzte. Ich versuchte es mir aus Symmetriegründen zu erklären. Das hat sich aber wiederworfen mit der zweiten Integralrechnung: II) $\begin{eqnarray} L( \gamma (t)) = \int_{0}^{2 \pi}~ \frac {3}{2} \mid sin (2t) \mid ~dt = \frac {3 \cdot 4}{2} \int_{0}^{\frac {\pi}{2}}~sin (2t)~dt \end{eqnarray}$ Hier ist wieder das slebe Problem. Warum sich die Grenzen ändern. Und Betragsstriche wegfallen. III) $\begin{eqnarray} L( \gamma (t)) = \int_{0}^{2 \pi}~2 \mid sin (\frac {\phi}{2}) \mid ~d \phi = 4 \int_{0}^{\pi}~sin (\frac {\phi}{2})~d \phi \end{eqnarray}$ hier die selbe Frage, wie unter I) und II). Wahrscheinlich ist das was ganz blödes, was ich da nicht verstehe. Aber irgendwie sehe ich die Logig nicht. Ich hoffe, ihr könntet mir das erklären.
28.07.2007, 10:56	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehr gibt es da eigentlich nicht zu sagen, schau dir an wann der Graph über der x-Achse liegt, die Teile wo er nicht über der x-Achse liegt wurden als Vorfaktor vor das Integral geschrieben
28.07.2007, 12:59	Steffi8888	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh mann, irgendwie glaube ich es trotzdem nicht zu verstehen. Bei der II) wäre der Vorfaktor ja 4 bzw 2*2 Und bei der I) und III) ist der Vorfaktor nur 2 Und die Grenzen verändern sich bei allen 3. Wieso? Tut mir echt leid, wenn ich euch wegen solch einer lapalie auf den Keks gehen sollte.... Könntet ihr es vielleicht nochmal versuchen, mir es mit anderen worten zu erklären? Danke für eure Mühe
28.07.2007, 13:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zeigs dir mal exemplarisch am ersten Beispiel: Wichtig ist jetzt die Fläche von 0 bis Pi(Die Grenzen 0 bis 2Pi werden ja durch das t/2 "halbiert" im Argument der Funktion). Du siehst das der Flächeninhalt von 0 bis Pi/2, der gleiche ist wie wenn du von pi/2 bis Pi gehst. Deshalb wird eine 2 davor geschrieben und die Grenzen halbiert(aus $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \end{eqnarray}$ ) und durch das t/2 im Cosinus nur noch die Flächen von 0 bis Pi/2 betrachtet. Diese wird dann doppelt genommen. Da Cosinus in diesem Bereich positiv ist darf man die Betragsstriche weglassen

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