Punkte auf einem Kreis berechnen

28.07.2007, 13:41

knödel

Punkte auf einem Kreis berechnen

Hallo,

ich habe ein Problem. Ich soll 2 Punkte auf einem Kreis berechnen, die einen bestimmten Abstand (20 - direkt gemessen, nicht auf dem Kreisbogen) voneinander haben sollen. Mein Kreis liegt im Ursprung und hat den Radius 100.
Meinen Ausgangspunkt habe ich mir bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 60 \\ 80 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gewählt, aber von dort aus bin ich nicht wirklich weiter gekommen.
Würd mich freuen, wenn mir jemand nen Tip geben kann.

MfG
Knödel

28.07.2007, 14:17

Dunkit

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zwei Tips, damit sollte die Aufgabe zu lösen sein:

Abstand zweier Punkte voneinander:
$\begin{eqnarray*} d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 \end{eqnarray*}$

Und ein Kreis llässt sich darstellen durch
$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

28.07.2007, 14:38

Knödel

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Danke! Die erste Gleichung hat mir gefehlt... Ich schätze, jetzt klappts.

29.07.2007, 13:55

Knödel

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zu früh gefreut... das klappt immer noch noch nicht. ich habe jetzt die Kreis-Gleichung $\begin{eqnarray*} A_x^2+A_y^2 = 100^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} A_x=\sqrt{100^2-A_y^2} \end{eqnarray*}$ aufgelöst.
Das habe ich dann in die Gleichung $\begin{eqnarray*} (A_x-60)^2-(A_y-80)^2=20^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und habe bis nach $\begin{eqnarray*} -19600 = -161A_y-A_y^2-120\sqrt{100^2-A_y^2} \end{eqnarray*}$ aufgelöst. Aber von dort aus kann ich nicht weiter auflösen - oder ist mein Ansatz falsch?

29.07.2007, 14:03

Dunkit

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Ich kann dir ehrlich gesagt nicht sagen, warum du nicht weiterkommst, weil deine Bezeichnung einfach ZIEMLICH daneben sind.
Schreib das bitte nochmal sorfältig hin mit
$\begin{eqnarray*} x_1, y_1 \end{eqnarray*}$ als Koordinaten des gewählten Punktes auf dem Kreis und
$\begin{eqnarray*} x_2, y_2 \end{eqnarray*}$ als Koordinaten des gesuchten Punktes. dann sieht man's vllt besser und kommt auch eher auf die Lösung. Es sollte übrigens zwei Lösungen ergeben

/EDIT: @mythos: bitte nich falsch verstehen, ich wollte natürlich nicht sagen, dass es an der Notation liegt, dass er nicht auf das Ergebnis kommt, sondern nur, dass es mit einer vernünftigen einfacher wäre ;-) weisst schon was ich meine Augenzwinkern

29.07.2007, 14:22

mYthos

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Die Bezeichnungen sind zwar nicht optimal, aber daran liegt's nicht.
Der Ansatz ist auch noch richtig, aber bei der Berechnung des quadratischen Gleichungssystemes muss man methodisch vorgehen:

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 10000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - 60)^2 + (y - 80)^2 = 400 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------

Nun die zweite Gleichung ausquadrieren, und die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren!!. Dadurch fallen die quadratischen Glieder weg und aus der nunmehr linearen Gleichung wird eine Variable berechnet und in die (erste) quadratische Gleichung rückeingesetzt. Die daraus entstehende quadratische Gleichung in nur noch einer Variablen hat zwei Lösungen. Diese nun in die lineare Gleichung (!!) einsetzen, um die beiden Lösungen für die andere Variable zu ermitteln!

mY+

29.07.2007, 17:45

Knödel

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Ich geh deinen Lösungsweg mal Schritt für Schritt durch:

Zitat:

die zweite Gleichung ausquadrieren

$\begin{eqnarray*} x^2-120x+60^2+y^2-160y+80^2=400 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-120x+y^2-160y=-9600 \end{eqnarray*}$

Zitat:

die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren

$\begin{eqnarray*} x^2-120x+y^2-160y=-9600 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=10000 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} -120x-160y=-19600 \end{eqnarray*}$

Zitat:

und aus der nunmehr linearen Gleichung wird eine Variable berechnet

$\begin{eqnarray*} x=163\frac{1}{3}-1\frac{1}{3}y \end{eqnarray*}$

Zitat:

und in die (erste) quadratische Gleichung rückeingesetzt

$\begin{eqnarray*} (163\frac{1}{3}-1\frac{1}{3}y)^2+y^2=10000 \end{eqnarray*}$ ausquadrieren
$\begin{eqnarray*} 26677,78-435,56y+1,78y^2+y^2=10000 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} 2,78y^2-435,56y+16677,68=0 \end{eqnarray*}$ durch 2,78 teilen
$\begin{eqnarray*} y^2-156,68y+5999,2=0 \end{eqnarray*}$ p/q Formel
$\begin{eqnarray*} \frac{156,68}{2}\stackrel{+}{-}\sqrt{(\frac{156,68}{2})^2-5999,2} \end{eqnarray*}$
ergibt $\begin{eqnarray*} y_1 = 90,08 / y_2 = 66,59 \end{eqnarray*}$

Der Punkt (90,08/43,42) ist aber ~47,36 von (60/80) entfernt.

Kann sein, dass ich gerade total auf dem Schlauch stehe, aber ich hoffe mir mag trotzdem noch jemand helfen.
Danke schonmal für die bisherigen Antworten.

29.07.2007, 18:15

riwe

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alternativ kannst du auch so rechnen:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1= arctan\frac{8}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_2=arcsin\frac{10}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=\alpha_1\pm 2\alpha_2 \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} g: y = tan\alpha\cdot x \end{eqnarray*}$

in K einsetzen ergibt z.b.:

$\begin{eqnarray*} P_1(44.8802/90.3398) \end{eqnarray*}$

was deinem punkt sehr nahe kommt und $\begin{eqnarray*} d = 20 \end{eqnarray*}$ ergibt.
da hast du wahrscheinlich bei der abstandsberechnung einen fehler gemacht,
du hast nämlich dabei die x- und y-koordinaten vertauscht. verwirrt

29.07.2007, 18:24

Knödel

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danke

30.07.2007, 09:10

mYthos

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Ja, der Fehler liegt in der Rechnung!
Aber auch werner hat den x-Wert des Punktes nicht richtig!

x = 42,88

Die lineare Gleichung ist noch richtig. Am besten ist es dann, mit dem Bruch weiterzurechnen und diesen dann einzusetzen

$\begin{eqnarray*} y = \frac{490 - 3x}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{294}{5} \pm \frac{24 \sqrt{11}}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

30.07.2007, 09:19

riwe

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ja, das war ein tippfehler
x=42,8802
(sonst käme auch nicht d = 20 raus, bzw. läge der punkt nicht auf K).

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