Grenzwerte trigonometrischer Ausdrücke

28.07.2007, 20:26

marcel!

Grenzwerte trigonometrischer Ausdrücke

Hi,

beim Berechnen des Grenzwertes für trigonom. Terme ist es mir noch nicht ganz klar, wie dort vorgegangen wird.

Bsp.:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/2} tan(x) / tan(3x) \end{eqnarray*}$

Als Lösungsweg meiner Übungsaufgaben soll immer de l'Hospital verwendet werden.

Zum Beispiel: Ist es hier möglich d.HP zu benutzen, da doch weder eine 0/0 - noch einer $\begin{eqnarray*} \infty/ \infty \end{eqnarray*}$ -Situation gegeben ist. Pi/2 ist doch für tan nicht definiert. Grundsätzlich sind solche Aufgaben doch mit den Additionstheoremen zu schaffen, oder nicht?

28.07.2007, 20:33

piloan

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Hi
was ist denn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} tan(x) \end{eqnarray*}$ ?
Du laesst es ja nur gegen den Wert laufen.
Da kannst du schon Aussagen drueber machen.
Gruß

28.07.2007, 20:42

vektorraum

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RE: Grenzwerte trigonometrischer Ausdrücke
Hi!

Wenn dir folgendes hilft: $\begin{eqnarray*} \tan(x)=\cfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ .

Und du hast hier den Fall $\begin{eqnarray*} -\infty/-\infty \end{eqnarray*}$ , also probiere mal L'Hospital.

29.07.2007, 16:54

Airblader

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@vektorraum
Wenn es mir erlaubt sei, folgendes dazu:
Ich wäre auch mit dieser Identität rangegangen, aber wo meinst du die -oo/-oo - Situation?

Ich habe einfach für Zähler und Nenner jeweils die Identität benutzt, dann kann man etwas umformen und kommt so auf ein Produkt zweier Grenzwerte. Einer davon ist "Einsetzen" und der andere dann l'Hopital.

air

29.07.2007, 17:57

vektorraum

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@airblader: Das folgende Bild sollte dir bekannt vorkommen.

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \pi/2}~\tan x=-\infty \end{eqnarray*}$ .

Und entsprechend mit Faktor 3.

Ich meinte nicht bei der von mir angegebenen Beziehung Augenzwinkern

Was hast raus? Lösung müsste 3 sein.

29.07.2007, 18:06

Poff

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Zitat:

Original von vektorraum
@airblader: Das folgende Bild sollte dir bekannt vorkommen.

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \pi/2}~\tan x=-\infty \end{eqnarray*}$ .

nochmal überdenken

29.07.2007, 18:20

vektorraum

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Man sollte vielleicht dazu schreiben, von welcher Seite man sich annähert Hammer

29.07.2007, 18:21

Airblader

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Ja, mein Ergebnis ist 3 smile

Wenn du willst kann ich meinen Weg ja mal beschreiben

air

29.07.2007, 18:26

vektorraum

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Ja ok, habe ich auch Freude

Wenn dein Lösungsweg kürzer ist, kannst das gerne mal machen Augenzwinkern

29.07.2007, 18:37

Airblader

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Ich schreibs einfach mal sehr ausfürhlich auf, aber man kanns natürlich kürzer schreiben smile

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin 3x}{\cos 3x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cdot \cos 3x}{\sin 3x \cdot \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin 3x} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 3x}{\cos x} \end{eqnarray*}$

So. Der erste Faktor ist nun ganz klar:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin 3x} = \frac{1}{-1} = -1 \end{eqnarray*}$

Der zweite folgt nach l'Hopital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 3x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-3 \cdot \sin 3x}{-\sin x} = -3 \end{eqnarray*}$

Zusammen dann halt nurnoch $\begin{eqnarray*} -1 \cdot (-3) = 3 = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3x} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, einfach mal ganz ausfühlich geschrieben (aufm Zettel hab ichs mit 5 Gleichungen und das reicht imho locker)

Edit:
Weiß natürlich nicht, wie schnell dein Weg ist Big Laugh