hartnäckige substitutionsaufgabe

17.02.2005, 22:26

Doppelmuffe

hartnäckige substitutionsaufgabe

hi,

ich hab hier was, das irgendwie nicht integriert werden will:

$\begin{eqnarray*} \int{ \frac{1}{x^2 \sqrt{1-x^2}} dx} \end{eqnarray*}$

bei partieller integration dreh ich mich im kreis, und bei substitution blicke ich nicht, wie das gehen soll.
(man soll 1/x substituieren, aber das bringts auch nicht.)

ein paar tipps?

17.02.2005, 22:33

Ahasver

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wenns angegeben ist und du das so substituieren sollst, dann musste z = 1/x setzen, aber ich würde eher z=1-x² substituieren.
wobei dx = dz/-2x wäre und du dann immer noch ein x dort zu stehen hast.
was hast du denn bei der partiellen integration fuer u und v' genommen?

17.02.2005, 22:33

Calvin

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe
Das geht mit der Substitution t=1/x ganz gut. Es kann nur passieren, dass man ein bißchen durcheinander kommt.

Wie bist du denn da vorgegangen?

EDIT
@ahasver

Hast du es mit deinem Substitutionsvorschlag schonmal durchgerechnet? Der klappt nicht so wirklich.

17.02.2005, 23:08

Doppelmuffe

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe
also, jetzt bin ich ein bisschen weiter. aber das, was rauskommen soll, kommt nicht raus.

$\begin{eqnarray*} \int{(\frac{1}{x^2 \sqrt{1-x^2}}) dx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int{t^2 * \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{t^2}}}dx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int{ t^2 * t * \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} dt} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int{ t^2 * t \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} dt} \end{eqnarray*}$

jetzt nehme ich $\begin{eqnarray*} u = t^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = \sqrt{t^2 - 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [ t^2 * \sqrt{t^2-1}] - \int{2t * (t^2 - 1 )^{\frac{1}{2}} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [ t^2 * \sqrt{t^2-1} - \frac{2}{3} { (t^2 - 1 )^{\frac{3}{2}} }] \end{eqnarray*}$

und nun? unglücklich

(rauskommen soll: $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ )

edit: jaja, die wurzel...

17.02.2005, 23:18

Leopold

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe

Zitat:

Original von Doppelmuffe
$\begin{eqnarray*} = \int{ t^2 * t * \frac{1}{t^2-1} dt} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Beachte:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{t} \; , \ \ \mathrm{d}x = - \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \end{eqnarray*}$

Und wo ist übrigens die Wurzel geblieben?

17.02.2005, 23:28

Ahasver

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bei dem schritt, wo du partiell integrierst:
$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{t²-1} \end{eqnarray*}$ ...ich glaube das ist v' und du musst v ersteinmal bilden um es dann in $\begin{eqnarray*} {u*v} - \int_{}^{}~u'*v~dx \end{eqnarray*}$ einzusetzen.
desweiteren könntest du mal probieren obs ned günstiger ist, u mit v da zu vertauschen, vielleicht kommt dann etwas sinnvolleres raus.
ausserdem fehlt noch die konstante "+C"

...vielleicht bringt dich das weiter, ich hab selber grad ned so den überblick über die aufgabe und bin auch schon viel zu müde für sowas tt

17.02.2005, 23:44

Doppelmuffe

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe
ok, zweiter versuch:

$\begin{eqnarray*} \int{ t^2 * \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{t^2}} } dx } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int{ t^2 * \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{t^2}} } * \frac{-1}{t^2} dt } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int { \frac{-1}{ \sqrt{ \frac{ t^2 - 1 }{ t^2 } } } dt } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\int{ t * (-2t)(1-t^2)^\frac{-1}{2} dt } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = t * (1-t^2)^{\frac{ 1 }{ 2 }} - \int{ (1 - t^2 )^{\frac{1}{2}} dt} \end{eqnarray*}$

was ist jetzt falsch? traurig

17.02.2005, 23:53

riwe

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe
substituiere x = sin t
werner

17.02.2005, 23:54

iammrvip

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe

Zitat:

Original von Doppelmuffe
$\begin{eqnarray*} = \int { \frac{-1}{ \sqrt{ \frac{ t^2 - 1 }{ t^2 } } } dt } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\int{ t * (-2t)(1-t^2)^\frac{-1}{2} dt } \end{eqnarray*}$

[...]

was ist jetzt falsch? traurig

Der Schritt

$\begin{eqnarray*} &= \int \frac{-1}{\sqrt{\frac{t^2 - 1}{t^2}}}\mathrm dt \\ &= \int \frac{-1}{\frac{\sqrt{t^2 - 1}}{t}}\mathrm dt \\ &= \frac{1}{2}\int \frac{-2t}{\sqrt{t^2 - 1}}\mathrm dt \end{eqnarray*}$

18.02.2005, 00:26

Doppelmuffe

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe
ok, danke @alle.

jetzt muss ich erstmal mein gehirn defragmentieren...

gute nacht.

18.02.2005, 00:34

riwe

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe
damit die defragmentierung nicht umsonst ist:
mit x = sint
$\begin{eqnarray*} I = \int_{}^{}~\frac{dt}{sin^{2}t} = - cot(t) \end{eqnarray*}$
und nun resubstituieren
werner

18.02.2005, 00:45

JochenX

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ohje, verrechnet?
ich behalte 1/sin² unter dem integral, werner!?

18.02.2005, 00:57

riwe

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Zitat:

Original von LOED
ohje, verrechnet?
ich behalte 1/sin² unter dem integral, werner!?

nein nur verschrieben, wie man aus cot(x) sieht
trotzdem dankeschön,
habe es schon korrigiert
werner

18.02.2005, 01:33

JochenX

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Zitat:

nein nur verschrieben, wie man aus cot(x) sieht

ich wollte damit auch eher mein verzweiflung ausdrücken, weil ich dachte ich (und nur ich allein) hätte mich verrechnet. *g*
hast du das integral aus dem bronstein oder einer sonstigen formelsammlung oder gibt's da nen trick, wie man das integriert?

also 1/cos² wäre ja der tangens aufgeleitet..... verwirrt

18.02.2005, 10:56

riwe

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hallo jochen
integrale der art
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~R(x,\sqrt{a^{2}-x^{2}})~dx \end{eqnarray*}$
löst man mit der substitution x = a sin(t) (oder acos(t))
siehe bronstein, S. 395,
bzw. das konkrete integral findest du bei bronstein, s. 967, nr. 169
werner

18.02.2005, 10:58

riwe

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

nein nur verschrieben, wie man aus cot(x) sieht

und 1/sin^2(t) -> - cot(t) = -1/tan(t)
die fragen zu bronstein 1 post vorher
werner

18.02.2005, 13:01

JochenX

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, hatte gestern abend cotangens und arcustangens verwechselt.
im bett isses mir dann noch klar geworden *g*

wo wir schon beim thema sind:
und wann substituiert man den x=cosh/sinh(t)?
da gibts doch auch sowas ähnliches wie die trigonometrische 1?

18.02.2005, 16:12

riwe

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hallo jochen,
bei
$\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~R(x,\sqrt{{x^{2}} \pm a^{2}})dx \end{eqnarray*}$
bei +: x = asinh(t) oder x = atan(t)
bei -: x = a cosh(t) oder x = a sec(f)

(R irrationaler ausdruck in x und ...)
bronstein, s. 395

werner

18.02.2005, 20:02

Leopold

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RE: hartnäckige substitutionsaufgabe
Wir waren doch mittels der Substitution

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{t} \; , \ \ \mathrm{d}x = - \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \end{eqnarray*}$

schon hierher gekommen:

Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} &= \int \frac{-1}{\sqrt{\frac{t^2 - 1}{t^2}}}\mathrm dt \\ &= \int \frac{-1}{\frac{\sqrt{t^2 - 1}}{t}}\mathrm dt \\ &= \frac{1}{2}\int \frac{-2t}{\sqrt{t^2 - 1}}\mathrm dt \end{eqnarray*}$

(die Umformung von iammrvip stimmt allerdings nur für die zulässigen $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ )

Jetzt braucht man doch nicht mehr an den Anfang zurück mit einer trigonometrischen Substitution, sondern ist mit

$\begin{eqnarray*} u = t^2-1 \; , \ \ \mathrm{d}u = 2t \; \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

schon am Ziel (wie das ja durch iammrvips eingeschobenen Faktor 2 schon absichtsvoll suggeriert wird):

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int_{}^{}~\frac{2t}{\sqrt{t^2-1}}~\mathrm{d}t \ = \ -\int_{}^{}~\frac{\mathrm{d}u}{2\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$

Und daß das Endresultat dann auch für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ gültig ist, kann man sofort durch Differentiation bestätigen.

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