Auszeichnung der komplexen Zahlen

29.07.2007, 12:05

Soliton

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Auszeichnung der komplexen Zahlen

Hallo,

ich habe dunkel in Erinnerung, daß die komplexen Zahlen noch in anderer Weise ausgezeichnet sind als bloß dadurch, ein algebraischer Abschluß der reellen zu sein. Vielleicht bilde ich mir das auch nur ein und verwechsele das damit, daß die algebraischen Abschlüsse "bis auf Isomorphie" Big Laugh

Big Laugh

eindeutig sind.

Daher frage ich die Experten: Ist es richtig, daß jeder algebraisch abgeschlossene Körper der Charakteristik 0 körper-isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist? Oder ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ wenigstens in irgendeiner Weise der kleinste algebraisch abgeschlossene Körper der Charakteristik 0 (also etwa körper-isomorph zu einem Teilkörper jedes algebraisch abgeschlossenen Körpers mit der Charakteristik 0)?

29.07.2007, 13:21

__Alex__

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Hallo,

es ist bekanntlich (aber an dieser Stelle noch nicht bewiesen) C ein algebraischer Abschluss von R. Weiter können wir einen algebraischen Abschluss $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ erklären durch

$\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} = \{ \alpha \in \mathbb{C} | \alpha \text{ ist algebraisch über} \mathbb{Q} \}. \end{eqnarray*}$

Es gilt dann $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} \neq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ auch transzendente Elemente wie e oder pi enthält. Dies lässt sich aber auch durch ein Mächtigkeitsargument begründen, wenn man benutzt, dass der algebraische Abschluss eines Körpers bis auf (nicht-kanonische) Isomorphie eindeutig ist. Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ überabzählbar während die explizite Konstruktion eines algebraischen Abschlusses von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist.

LG
Alex

29.07.2007, 15:21

Soliton

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Ok, danke. Also: nein.

Gibt es denn nicht trotzdem irgendeine Eigenschaft von C, die es unter den vergleichbaren Körpern hervorhebt - sorry, daß ich so allgemein fragen muß?

Oder verwechsele ich das mit folgender Eigenschaft von Q, gilt dies:

Jeder algebraisch abgeschlossene Körper der Charakteristik 0 hat einen Teilkörper, der zu Q (körper-)isomorph ist?

29.07.2007, 16:36

__Alex__

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Hi,

auf mathematik-netz.de findest Du die Herleitung dessen, was ich hier in Kurzform schreibe.

Ein Körper K, der keine Unterkörper enthält, die eine echte Teilmenge von K sind, wird Primkörper genannt und der Körper Q ist Primkörper (b.a.I.) aller Körper der Charakteristik 0.

Jede Erweiterungskörper L eines Körpers K (der Charakteristik 0) behält die Charakteristik und damit den Primkörper bei, d.h. char(K)=char(L) für L:K.

Der Körper C selbstverständlich ausgezeichnet, man denke nur an die Funktionentheorie, doch in diesem Sinne (Abschluss) ist C nichts Besonderes.

Gruß
Alex

30.07.2007, 20:38

Soliton

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Danke nochmals. Vielleicht war es das, woran ich mich erinnerte.

Von den R^n ist C doch der größte "echte" Körper, oder? (Quaternionen und andere Schiefkörper nicht berücksichtigt.)

30.07.2007, 20:52

therisen

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Zitat:

Original von __Alex__
es ist bekanntlich (aber an dieser Stelle noch nicht bewiesen) C ein algebraischer Abschluss von R. Weiter können wir einen algebraischen Abschluss $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ erklären durch

$\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} = \{ \alpha \in \mathbb{C} | \alpha \text{ ist algebraisch über} \mathbb{Q} \}. \end{eqnarray*}$

Es gilt dann $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} \neq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ auch transzendente Elemente wie e oder pi enthält. Dies lässt sich aber auch durch ein Mächtigkeitsargument begründen, wenn man benutzt, dass der algebraische Abschluss eines Körpers bis auf (nicht-kanonische) Isomorphie eindeutig ist. Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ überabzählbar während die explizite Konstruktion eines algebraischen Abschlusses von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist.

Plagiat

Denk mal drüber nach.

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30.07.2007, 22:25

Dual Space

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Zitat:

Original von therisen
Plagiat

Denk mal drüber nach.

Nenn das Kind doch einfach beim Namen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2007, 22:50

therisen

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S. Bosch, Algebra. Kapitel 3.4, Seite 107. Ein sehr schönes Buch über die Algebra. Wenn man schon wortwörtlich zitiert, sollte man auch nicht vergessen, die Quelle anzugeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2007, 09:23

__Alex__

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Hallo zusammen,

das es in der Tat ein Zitat aus Bosch ist, wußte ich beim Tippen der Zeilen nicht, da ich mir zum algebraischen Abschluss eine Zusammenfassung erstellt habe und aus dieser die entsprechende Stelle einfach abgeschrieben habe. Sorry!

Gruß
Alex

31.07.2007, 09:48

__Alex__

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...noch zum Thema:

Zitat:

Original von Soliton
Von den R^n ist C doch der größte "echte" Körper, oder? (Quaternionen und andere Schiefkörper nicht berücksichtigt.)

Was Du unter einem "echten Körper" meinst, weiß ich nicht. Es gilt jedoch Folgendes: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist vermöge der elementeweise Addition und der durch $\begin{eqnarray*} (a,b)(c,d) := (ac -bd, cb + ad) \end{eqnarray*}$ erklärten Multiplikation ein Körper. Sodann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}' \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} a \rightarrow (a,0) \end{eqnarray*}$ eine Körpereinbettung, d.h. ein Isomorphismus. Man kann durch entsprechende Isomorphismen rechtfertigen (vgl. quadratische Zahlbereiche bzw. quadratische Zahlkörper), dass man ein Element (a, 0) einfach als a schreibt bzw. (a,b) entsprechend durch a+ib. Beachte, dass obige Konstruktion zwar zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ isomorph ist aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ selbst nicht enthält. Man könnte auch einen Körper konstruieren, der zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ isomorph ist und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ echt enthält.

Jedenfalls rechtfertigt man in dieser oder ähnlicher Art und Weise, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \cong \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Gruß
Alex

31.07.2007, 11:50

Soliton

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Danke.

"echter Körper" := kein Schiefkörper (siehe obige Klammer)

Zitat:

Original von __Alex__
Es gilt jedoch Folgendes: [...]

Ja, das ist klar. Du meinst, daß

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \cong \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ x {0},

und dies ist in R^2 enthalten, was wiederum isomorph zu C ist. Aus diesem Grund hatte ich selbst ja oben schon C mit einem der R^n identifiziert.

Zitat:

Original von __Alex__
Man könnte auch einen Körper konstruieren, der zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ isomorph ist und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ echt enthält.

Naja, der dürfte ja nichts anderes als C in der üblichen i-Notation sein.

Aber zu meiner obigen Frage?

31.07.2007, 11:57

__Alex__

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Hi Soliton,

vielleicht reden wir auch aneinander vorbei (oder ich interpretiere Dich falsch), doch... [hier stand Käse].

Gruß
Alex

31.07.2007, 12:06

Leopold

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Zitat:

Original von Soliton
Von den R^n ist C doch der größte "echte" Körper, oder? (Quaternionen und andere Schiefkörper nicht berücksichtigt.)

Sagen wir so: Für endliches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann man nur im Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ durch Definition einer Multiplikation zu einem Körper machen.

Das heißt aber andererseits nicht, daß es nicht noch größere Körper gibt. So ist z.B. $\begin{eqnarray*} L = \mathbb{R}(x) \end{eqnarray*}$ , der Körper der rationalen Funktionen in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , ein mächtig großer Oberkörper von $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} L \supset K \end{eqnarray*}$ ist transzendent.

31.07.2007, 15:57

Soliton

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Zitat:

Original von __Alex__
vielleicht reden wir auch aneinander vorbei (oder ich interpretiere Dich falsch), doch Dir ist bewußt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen n (n nicht gleich 0) ein Körper und damit auch ein Schiefkörper ist?

Dann reden wir aneinander vorbei. Mir ist bewußt, daß R^n für viele n KEIN Körper ist, und meine von Dir zitierte Frage zielt darauf herauszufinden, für welche n R^n ein Körper ist - mir war sogar bekannt, daß es nicht mehr als drei oder vier solcher n gibt, ich wußte nur nicht, ob es nur zwei gibt, oder ob nach n = 2 noch weitere Körper kommen. Wie Leopold schreibt, ist das nicht so.

Danke auch dafür. smile

smile

31.07.2007, 17:02

__Alex__

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Ups, sorry, da stand ich auf'm Schlauch.

@Leopold:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ durch Definition einer Multiplikation zu einem Körper machen.

Hättest Du dafür einen Beweis bzw. eine Referenz.

Gruß
Alex

31.07.2007, 19:15

Leopold

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H.-D. Ebbinghaus u.a., Zahlen, Springer 1983
Kapitel "Reelle Divisionsalgebren"

01.08.2007, 07:52

__Alex__

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Danke!

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