inhomogene Diffgleichung Lineare Algebra 2

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vectorix Auf diesen Beitrag antworten »
inhomogene Diffgleichung Lineare Algebra 2
Hi

Ich hab da eine Aufgabe zum Lösen einer inhomogenen Diff. Gleichung in Lineare Algebra 2.

Dort schreiben sie in der Lösung:

"Nach einem Satz aus der Linearen Algebra findet man den homogenen Teil der Lösung mit:



wobei



Nun hab ich in meiner Aufgabe eine Jordan-Matrix der Form

Dann wirds auf dem Lösungsblatt folgendermassen dargestellt:



Wie ich S und J bestimme ist mir klar, meine beiden Fragen dazu sind:

1. Wie heisst dieser Satz aus der Linearean Algebra oder unter was find ich den?

2. Ich verstehe nicht wie exp(t*J) diese Matrix ergeben kann und wieso dass nur in der Nebendiagonalen noch das t vordran ist, also das

Kann mir das jemand erklären?

Danke für ne Antwort.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es wäre ganz hilfreich, wenn du auch die Aufgabenstellung (insbesondere die DGL) posten würdest und nicht nur die Lösung Augenzwinkern


Gruß, therisen
vectorix Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich post einfach mal den Link von wo ichs hab:

Hier die Aufgabenstellung, Es ist die Aufgaben Herbst 2003 1)

http://www.iam.unibe.ch/mib/mathtests/pd...-pruefungen.pdf

Und das Lösungsblatt dazu: (Seite 2)

http://www.iam.unibe.ch/mib/mathtests/pd...2-loesungen.pdf


Nun, eine Matrix in exponential Form lässt sich doch so berechnen:

http://www.sosmath.com/matrix/expo/img18.gif

Doch meine J_A Matrix wird nie eine Nullmatrix und der Nebendiagonaleintrag wächst bei jedem weiteren potenzieren jeweils um 1 an. So instinktiv versteh ich schon das dort ein t vordran kommt, aber wie ich mir das beweisen kann ist mir unklar.

Übrigens ist mir unten auf dem Lösungsblatt der Weg zur speziellen Lösung auch noch nicht klar, jedoch muss ich mir das nochmal anschauen...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inhomogene Diffgleichung Lineare Algebra 2
Der Trick besteht in der Zerlegung



Wegen ist der Binomialsatz anwendbar, d.h.



Die Matrix ist nilpotent, d.h. die Reihe



bricht nach endlich vielen Gliedern ab.

Weiterhin gilt die Rechenregel . Ich habe mir die Musterlösung nicht angeschaut, aber das sollte dich schon weiterbringen.


Gruß, therisen
vectorix Auf diesen Beitrag antworten »

hey danke, habs langsam raus. Habs verstanden mit der "eulerischen Folge" etc. Die Aufgabe benötigte einen ziemlichen Hintergrund an Grudnwissen... Thx
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