Erwartungswert der Normalverteilung

29.07.2007, 15:16

Gast47

Erwartungswert der Normalverteilung

Die Boardsuche hat leider nichts ergeben.

Wie zeige ich den Erwartungswert µ der Normalverteilung? Es gibt doch keine geschlossene Lösung des INtegrals?

Brauche echt dringend eure Hilfe! Danke!

29.07.2007, 16:04

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswert der Normalverteilung

Zitat:

Original von Gast47
Wie zeige ich den Erwartungswert µ der Normalverteilung? Es gibt doch keine geschlossene Lösung des INtegrals?

Doch, von $\begin{eqnarray*} \int x\cdot f(x)~\dx \end{eqnarray*}$ schon.

29.07.2007, 17:14

Gast47

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswert der Normalverteilung
Im Fall der Standartnormalverteilung kann ich das nachvollziehen und auch durch Integration durch Substition lösen (ok, die Lösung ist 0).

Aber wie ist der Ansatz bei der regulären Normalverteilung?

29.07.2007, 17:29

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_\mathbb{R} (x+\mu)e^{(x/\sigma)^2}~\dx=\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_\mathbb{R} e^{(x/\sigma)^2}~\dx=\mu \end{eqnarray*}$ .

Dazu muss man halt wissen, dass der Wert des Integrals über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi}\sigma \end{eqnarray*}$ ist. Das geht aber, ohne eine Stammfunktion zu kennen (hatten wir auch schon mehrfach im Board).

29.07.2007, 21:48

Gast47

Auf diesen Beitrag antworten »

Da komme ich bezüglich der Standartabweichung nicht ganz hinter. Also was ich bisher nachvollziehen kann ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} I=\int_{-\infty}^{+\infty}\text{exp}\left(-\frac{1}{2}x^2\right)\text{d}x \end{eqnarray*}$

Das wird nun auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ übertragen:

$\begin{eqnarray*} I^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\text{exp}\left[-\frac{1}{2}(x^2+y^2)\right]\text{d}x\text{d}y \end{eqnarray*}$

Das Ganze lässt sich in Polarkoordianten darstellen als:

$\begin{eqnarray*} I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}r\text{exp}\left(-\frac{1}{2}r^2\right)\text{d}\varphi\text{d}r \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}\text{d}\varphi=2\pi \end{eqnarray*}$ ist, folgt:

$\begin{eqnarray*} I^2=2\pi\int_{0}^{+\infty}r\text{exp}\left(-\frac{1}{2}r^2\right)\text{d}r \end{eqnarray*}$

Dieses Integral lässt sich nun durch Substitution ( $\begin{eqnarray*} z:=r^2 \end{eqnarray*}$ ) lösen:

$\begin{eqnarray*} I^2=2\pi\left[-\text{exp}\left(-\frac{1}{2}r^2\right)\right]_{0}^{+\infty}=2\pi \end{eqnarray*}$

Aber wie mache ich das bei der klassischen Normalverteilung?

29.07.2007, 23:37

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das? Wenn du mein voriges Posting anschaust und dir das fehlende -1/2 im Exponenten dazudenkst, bekommst du mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x =: \sigma t \end{eqnarray*}$ einen Faktor $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ dazu, der sich mit dem Vorfaktor kürzt, und es bleibt noch das Integral stehen, dass du selbst mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}$ bestimmt hast, was sich wiederum mit dem Vorfaktor kürzt. Übrig bleibt das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert der Normalverteilung

Verwandte Themen