Linearität von Erwartungswerten

18.02.2005, 16:35

Harrem

Linearität von Erwartungswerten

Moin zusammen,

ich hab da ein ungelöstes Urnenproblem, vielleicht kann mir einer von euch Mathe-Cracks helfen verwirrt

"Eine Kandidatin zieht aus einer Urne, die 100 durchnummerierte Kugeln enthält, ohne Zurücklegen. Das Spiel ist zu Ende, sobald sie eine Zahl zieht, die kleiner ist als die Zahl der vorhergehenden Ziehung. Pro erfolgreichem Zug erhält sie einen Euro. Wieviele Euro gewinnt sie im Mittel?"

Als Tipp steht hier noch:
"möglicher Ansatz für Zufallsvariablen: $\begin{eqnarray*} X_k=1 \end{eqnarray*}$ , wenn Kandidatin k-ten Zug machen darf bzw. 0 sonst

bitte helft! Hammer

Gruß,
Harrem

18.02.2005, 17:55

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RE: Linearität von Erwartungswerten
Zunächst mal hilft die Vorstellung, dass die Kandidatin auch im Misserfolgsfall weiter zieht, nur dann eben für die Zusatzziehungen nichts mehr erhält.

Dann ist wie üblich nach Laplace

$\begin{eqnarray*} P(X_k=1) \end{eqnarray*}$ = (Anzahl günstige Ziehungen von k aus 100) / (Anzahl alle Ziehungen von k aus 100)

18.02.2005, 19:44

Harrem

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RE: Linearität von Erwartungswerten
zunächst vielen Dank für die Antwort!

Leider beantwortet das die Frage noch nicht. Wie hoch ist denn nun der erwartete Gewinn?

Mein Problem ist, dass jeder EW vom Ergebnis der vorherigen Ziehung abhängt. Zieht die Kandidatin zuerst die 100, so hat sie sofort verloren, bei der 1 stehen ihre Chancen sehr gut.

Steh ich nur auf dem Schlauch???

18.02.2005, 19:52

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RE: Linearität von Erwartungswerten
Ich gebe keine Komplettlösungen, nur Hinweise. Und dieser Hinweis führt zum Ziel! Der erwartete Gesamtgewinn ist

$\begin{eqnarray*} G=\sum\limits_{k=1}^{100}\mathbb{E}X_k=\sum\limits_{k=1}^{100}P(X_k=1) \end{eqnarray*}$ ,

wenn du also $\begin{eqnarray*} P(X_k=1) \end{eqnarray*}$ im Sack hast, dann auch den Gesamtgewinn.

18.02.2005, 20:11

Harrem

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RE: Linearität von Erwartungswerten

Zitat:

Original von Arthur Dent

wenn du also $\begin{eqnarray*} P(X_k=1) \end{eqnarray*}$ im Sack hast, dann auch den Gesamtgewinn.

Richtig, das ist der Knackpunkt. Nun kann man $\begin{eqnarray*} P(X_k=1) \end{eqnarray*}$ aber nicht bestimmen ohne zu wissen, was im Versuch davor konkret gezogen wurde, oder? Für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ kann ich mir ja noch nen Reim drauf machen Augenzwinkern

danach hört's aber leider schon auf...

Ich glaub, ich denke da grundsätzlich in die falsche Richtung, oder? Im Rahmen von EW betrachtet man doch ALLE möglichen Ausprägungen, keine konkreten...

18.02.2005, 20:24

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RE: Linearität von Erwartungswerten
Wiederholung ( Schläfer

) :

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} P(X_k=1) \end{eqnarray*}$ = (Anzahl günstige Ziehungen von k aus 100) / (Anzahl alle Ziehungen von k aus 100)

Anzahl aller Ziehungen von k aus 100 (numerierte Ziehung 1 bis k) = ?

Anzahl günstiger Ziehungen von k aus 100 (numerierte Ziehung 1 bis k, die gezogenen Nummern müssen aufsteigend sein) = ?

18.02.2005, 20:51

Harrem

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RE: Linearität von Erwartungswerten
OK, du meinst also $\begin{eqnarray*} P(X_k=1)=\frac{{100\choose k}}{(100)_k}=\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ ?

Sieht komisch aus, haut für k=1 aber hin. Hmm...da sind ja dann die vorhergehenden Versuche auch mit drin...du, das sieht gar nicht schlecht aus!!! Idee!

Ich denke leider immer noch zu sehr in Einzelexperimenten, da sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Besten Dank für die "Geburtshilfe"!!

18.02.2005, 20:59

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RE: Linearität von Erwartungswerten
Mathematisch richtig, aber nicht das LaTeX: Statt \choose{100}{k} muss es

{100 \choose k}

heißen. Freude

18.02.2005, 21:03

Harrem

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RE: Linearität von Erwartungswerten
Jaja Lehrer

Mein LaTeX is n bisl eingerostet. Danke nochmal, dass du dir die Mühe gemacht hast Prost

18.02.2005, 21:10

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RE: Linearität von Erwartungswerten

Zitat:

Original von Harrem
Mein $\begin{eqnarray*} \latex \end{eqnarray*}$ is n bisl eingerostet.

Dann kann ich ja weiter klugscheißen: Mein $\begin{eqnarray*} \mbox{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ ist intakt!

Übrigens: Die Summe kannst du noch mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ vereinfachen - zwar nur approximativ, aber ca. 150 Stellen Genauigkeit dieser Approximation sollten ja reichen. Big Laugh

18.02.2005, 21:13

Harrem

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RE: Linearität von Erwartungswerten
ja, ja. Wer den schaden hat... Hammer

nur aus Interesse: welches is das richtige Tag?

18.02.2005, 21:15

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RE: Linearität von Erwartungswerten
Das Geheimnis ist nicht das Tag, sondern das "Rückschalten" in den Textmodus - hier im Forum ist man ja gleich im mathematischen Modus:

code:
1:	[latex]\mbox{\LaTeX}[/latex]

18.02.2005, 21:20

Harrem

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RE: Linearität von Erwartungswerten
Du Trickser! Damit kannst du bei nem newbie wie mir natürlich *furchtbar* Eindruck schinden Augenzwinkern

Sachma: diese e-Approximation ist vielleicht ganz brauchbar. Habe sowas aber noch nie gesehen. Wie würde das denn aussehen?

18.02.2005, 21:24

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RE: Linearität von Erwartungswerten
Die Taylorreihenentwicklung

$\begin{eqnarray*} e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

kennst du doch sicher, oder? Und welches x du hier einsetzen musst, und welche Korrektur dann noch nötig ist, muss ich wohl nicht mehr sagen. smile

18.02.2005, 21:33

Harrem

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RE: Linearität von Erwartungswerten
uuuh! geschockt

Taylor, soso... die kannte ich noch nich. Aber vielen Dank, jetzt bin ich um ieniges klüger (und vor allem: besser auf die Klausur am Montag vorbereitet Augenzwinkern

)

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