Probleme mit Ebenen/Kugeln, etc

Neue Frage »

Julee Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme mit Ebenen/Kugeln, etc
Hallo,

habe - wie im Betreff angegeben - mit einigen Themengebieten grade meine Schwierigkeiten, als ich das Thema fürs Abi wiederholen wollte
wahrscheinlich habe ich grade auch nur ein Brett vorm Kopf, aber ich verstehe es einfach nicht, wenn ich das im Buch nachlese...

aber der Reihe nach..

1.) Wie berechnet man die Schnittgerade von 2 Ebenen ganz allgemein?
genau wie bei geraden durch gleichsetzen, nur dass man anstelle eines Schnittpunktes eine Gerade mit diesem Ergebnis aufstellen muss?

2.)Das gleiche mit Tangentialebenen? verfährt man da genau so wie mit 2 normalen Ebenen?


und last but not least die Schnittpunkt-Bestimmung zwischen einer Gerade in Normalenform und einer Kugel

ist die Gerade in Parameterform gegeben, ist es ja kein problem das zu berechnen, aber diese Normalenvektoren machen mich noch ganz irre Augenzwinkern




Ausserdem habe ich eine Aufgabe nachgerechnet, die wir bereits im Unterricht hatten.
Damals hatte ich das Ergebnis auch schon falsch, hab aber die richtigen mitgeschrieben, um es nochmal nachrechnen zu können.
Doch komme ich jedesmal wieder auf mein falsches Ergebnis..

Hier mal die Aufgabe:
Es ist eine Kugel K gegeben mit x²=41 und die Punkte A(9/6/0) und B (-6/0/9)

zuerst habe ich dann die geraden gleichung bestimmt die dann lautet:
x= (9/6/0) + t*(-15/-6/9)

die Gleichung dann quadriert und in die Kugelgleichung eingesetzt, 2 t's erhalten und mit denen dann die Schnittpunkte ausgerechnet
und eben diese t's sind falsch, so dass ich auch auf falsche Schnittpunkte komme

meine Schnittpunkte sind:
S1(14/8/-3)
S2(19/10/-6)

und richtig wäre:
S1(-1/2/6)
S2(4/4/3)

vllt hat ja jemand den Willen mal die Aufgabe durchzurechnen, denn ich komme einfach nicht auf die richtigen Schnittpunkte, egal wie oft ich es neu rechne unglücklich

und verzeiht mir die Schreibweise der vektoren in der Geradengleichung, weiß nicht wie ich die hier anders schreiben kann Augenzwinkern

vielen, vielen dank
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Ebenen/Kugeln, etc
Zitat:
aber der Reihe nach..

1.) Wie berechnet man die Schnittgerade von 2 Ebenen ganz allgemein?
genau wie bei geraden durch gleichsetzen, nur dass man anstelle eines Schnittpunktes eine Gerade mit diesem Ergebnis aufstellen muss?

Das Ergebnis ist bereits eine Gerade, außer die Ebenen sind zueinander parallel oder ident. Dann haben sie natürlich keine Schnittgerade

Zitat:
2.)Das gleiche mit Tangentialebenen? verfährt man da genau so wie mit 2 normalen Ebenen?

Ja klar, der einzige Unterschied ist, dass die Tangentialebene die Kugel nur berührt (tangere - lat.: berühren).

Zitat:
und last but not least die Schnittpunkt-Bestimmung zwischen einer Gerade in Normalenform und einer Kugel

Es gibt im Raum keine Geradengleichung in Normalenform, da die Gerade nicht eindeutig fixiert wäre in Raum, wenn man nur Normalvektor und einen Punkt kennt.


Zitat:
ist die Gerade in Parameterform gegeben, ist es ja kein problem das zu berechnen, aber diese Normalenvektoren machen mich noch ganz irre Augenzwinkern




Ausserdem habe ich eine Aufgabe nachgerechnet, die wir bereits im Unterricht hatten.
Damals hatte ich das Ergebnis auch schon falsch, hab aber die richtigen mitgeschrieben, um es nochmal nachrechnen zu können.
Doch komme ich jedesmal wieder auf mein falsches Ergebnis..

Hier mal die Aufgabe:
Es ist eine Kugel K gegeben mit x²=41 und die Punkte A(9/6/0) und B (-6/0/9)

zuerst habe ich dann die geraden gleichung bestimmt die dann lautet:
x= (9/6/0) + t*(-15/-6/9)

die Gleichung dann quadriert und in die Kugelgleichung eingesetzt, 2 t's erhalten und mit denen dann die Schnittpunkte ausgerechnet
und eben diese t's sind falsch, so dass ich auch auf falsche Schnittpunkte komme

meine Schnittpunkte sind:
S1(14/8/-3)
S2(19/10/-6)

und richtig wäre:
S1(-1/2/6)
S2(4/4/3)

vllt hat ja jemand den Willen mal die Aufgabe durchzurechnen, denn ich komme einfach nicht auf die richtigen Schnittpunkte, egal wie oft ich es neu rechne unglücklich


Poste doch mal deine Rechnung, dann können wir dir sagen, was daran falsch ist.
 
 
Julee Auf diesen Beitrag antworten »

jup muss mich an der einen stelle berichtigen...meinte da auch die schnittpunkt berechnung von einer Geraden in Normalneform und einem Kreis, nicht Kugel

und die Rechnung hätte ich vorhin schon mitgepostet, aber ich fand das zu unübersichtlich, da ich die vektoren so doof schreiben müsste, gibs da ein programm für, dass die vektoren gleich richtig dargestellt werden?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Unter deinem Eingabefeld steht Formeleditor - dort anklicken.

Ich komm bei deinem Beispiel auf:

t² - 3t + 2 = 0

Poste doch mal bitte (auch ohne Formeleditor, wenn du willst), wie du auf deine Gleichung kommst.

lg kiki

edit:
Ich zeig dir mal, wie man 2 Ebenen miteinander schneidet:

e1: x - 3y + 2z = 11
e2: x + y + z = 2

Zuerst eine Koordinate eliminieren, egal, welche.
Ich mach die untere Gleichung mal (-1), dann fällt das x weg und dann bleibt übrig:

-4y + z = 9

Nun setzt man eine Koordinate in dieser Gleichung t >>

z = t

und setzt in die Gleichung ein und formt nach y um:

-4y + t = 9

y = -9/4 - t/4

Nun setzt man z und y in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und formt nach x um, sodass nun jede Koordinate mit t ausgedrückt ist:

x - 9/4 - t/4 + t = 2

x = 17/4 - (3t)/4

Die Geradengleichung allgemein ist folgendermaßen:

X(x/y/z) = Punkt + t * Richtungsvektor

x = 17/4 - (3t)/4
y = -9/4 - t/4
z = t

X= ( 17/4 // -9/4 // 0) + t * (-3/4 // -1/4 // 1)

Da man den Richtungsvektor verlängern oder verkürzen darf - wie man will - multiplizier ich den jetzt mit 4, dann hab ich dort keine Brüche mehr:

X = ( 17/4 // -9/4 // 0) + t * (-3 / - 1 / 4)

und das ist nun die Schnittgerade.

lg kiki
Julee Auf diesen Beitrag antworten »

Mh und genau das was du als Ergebnis hast, hab ich hier auch als richtiges stehen, irgendwo muss ich einen Rechen-oder Denkfehler drin haben...ich schreib das dann mal auf, also:

Kugelgleichung: x²=41

um den Schnittpunkt zwischen Gerade und Kugel zu bestimmen, muss ich die Geradengleichung quadrieren und das dann in die Kugelgleichung einsetzen, dann komm ich zu dem Ergebnis:

[\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} -15 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}]² = 41

um das dann auszurechnen, schreib ich das um:

(9-15t)² + (6-6t)² + (9t)² = 41

81 - 270t + 225t² + 36 - 72t + 36t² + 81 t² -41 = 0

342 t² -342t +76= 0

t² - t + 76/342 = 0

und auf das komme ich immer wieder...



danke für dein Beispiel, was du für die Schnittgerade vorgerechnet hast, werde ich gleich mal versuchen nachzuvollziehen


und schon wieder eine Aufgabe wo ich nicht weiterkomm, so langsam verzweifel ich wirklich..
hatte mir eine Abi-Aufgabe von vor ein paar Jahren ausm Internet geholt und die gerechnet, komme an einer Stelle nicht weiter..

man hat am anfang 2 geraden gegeben, an denen man nachweisen soll, dass sie einen Schnittpunkt haben und welche Koordinaten S hat ... hab ich geschafft

dann ging es weiter, man soll eine Ebene E1 aufstellen, die die 2 geraden enthält ... hab ich auch geschafft
aber jetzt kommt das Problem:

es soll eine Ebene E2 aufgestellt, werden, die durch S verläuft und dazu noch senkrecht zu g1 verläuft

Ist mein Ansatz richtig, wenn ich bei E2 als Aufpunkt S benutze?
und den Normalenvektor von E1 als Richtungsvektor von E2?
aber dann fehlt mir immer noch ein zweiter Richtungsvektor...

Vllt sollte ich mich erstmal Stochastik zuwenden, jede Stunde, die ich mehr mit vektoren rechne, desto weniger klappt unglücklich
Julee Auf diesen Beitrag antworten »



so, nachgetragen, da das eben nicht geklappt hat
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Naja...was ich gemacht hab, und das tut eigentlich jeder, der die Vektorenrechnung durchschaut, ist, dass ich den Richtungsvektor durchgekürzt hab und zwar durch 3.
Und dann kommt man auf mein Ergebnis. Hat den Vorteil, dass man nicht so hohe Zahlen hat. Aber dazu muss man eben wissen, wann man einen Vektor durchkürzen darf und wann nicht.
DAher hab ich dann folgende Gleichung gehabt:

(9 - 5t)² + (6 - 2t)² + (3t)² = 41

Sorry, aber das ist wirklich eine Abiaufgabe bei euch zum Thema Vektoren?

Naja...ich kann dir den Weg sagen, und vielleicht schaffst du dann ja auch das Beispiel beim Abi. Aber falls da irgendwas anderes kommen sollte, und bei Vektorenrechnung gibts unendlich viele Variationen von Beispielen, dann bist du aufgeschmissen. Aber vielleicht ist das ja bei euch so, dass nur einfache Standardbeispiele kommen. Das kann ich nicht beurteilen.
Wenn du also Vektorenrechnung wirklich verstehen willst, dann sags.
Inzwischen sag ich dir einfach mal den Weg, wie das geht.

Normalvektorform der Ebene:

Normalvektor * X(x/y/z) = Normalvektor * bekannter Punkt(der Ebene)

Dein Punkt, den du von der Ebene kennst, ist S. Der Normalvektor der Ebene ist der Richtungsvektor von g1.

lg kiki
julee Auf diesen Beitrag antworten »

aber eig müsste ich ja auch ohne zu kürzen auf das richtige Ergebnis kommen..

Welche aufgabe meintest du genau? die ich als letztes gepostet habe?
Die stand unter Abiaufgabe gk aus Bayern glaub ich von 2000, bin ich über die Seite von Abiturlösungen drauf gestoßen, war keine aus meinem Bundesland oder meinem Lehrer

und ich dachte bei der Aufgabe die ganze zeit nicht daran, eine Nromalenform aufzustellen, da ich die ganze zeit mit krampf versucht habe eine Parameterform zu kriegen..ich hör mal am besten für heute auf, vllt ist der ganze Stoff morgen etwas klarer Augenzwinkern

und ja ich will es verstehen Augenzwinkern
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, eigentlich schon. Nur in diesem Fall schneidest du eine lineare Gleichung mit einer nicht-linearen und das wirkt sich auf die quadratische Gleichung aus, denn:

(9 - 15t)² + (6 - 6t)² + (9t)² = 41

oder:

(9 -5t)² + (6 - 2t)² + (3t)² = 41

Wenn du da binomische Formel anwendest, dann ändert sich zwar bei beiden die Koordinate des PUnktes nicht, aber das 2ab und das b² werden anders. Das heißt, es wird nicht alles "gleich" angehoben.
Zumindest denke ich, dass das die Ursache dafür ist, dass bei deiner Rechnung eine Minuszahl unter der Wurzel entsteht.
Geometrisch kann ichs mir irgendwie nicht erklären, dass es einen Unterschied machen würde. Denn eigentlich müsste als Lösung t1 = 1/3 und für t2 = 2/3 rauskommen.
Ehrlich gesagt, ist mir so ein Fall noch nie untergekommen, aber wahrscheinlich deswegen, weil mein 1. Blick immer dem Kürzen von Vektoren gilt, wenn man es darf. Ich frag mal jemanden, ob ich da richtig liege oder ob das eine andere Ursache hat.

Wenn du willst, dass ich dir die Vektorenrechnung erklären soll, dann frag mich ruhig irgendwas Konkretes, ich erklär dir dann, wieso und weshalb man das tut und wie man ein Vektorenbeispiel angehen muss.

lg kiki
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

???

Es kommt doch auch bei Verwendung des "ungekürzten" Richtungsvektors



heraus.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold!

Wollt dir schon eine Mail schicken, ob du das erklären könntest, denn ich hab dauernd eine Minuszahl unter der Wurzel gehabt. Und jetzt plötzlich beim hier Vorrechnen nicht mehr. verwirrt verwirrt
Sicher der Vorführeffekt.

(9 - 15t)² + (6 - 6t)² + (9t)² = 41
81 - 270 t + 225t² + 36 - 72t + 36t² + 81t² = 41
342 t² - 342t + 76 = 0

t² - t + 38/171 = 0

t1,2 = 1/2 +/- sqrt( 1/4 - 38/171)

t1,2 = 1/2 +/- sqrt(19/684) | 1/6

t1 = 2/3
t2 = 1/3

Gott sei Dank hab ich mich nur verrechnet. Mein Weltbild begann schon zu wanken, hihi.

lg kiki
Julee Auf diesen Beitrag antworten »

mh, also wenn ich konkret fragen soll, dann hätte ich zunächst meine Probleme mit der Abstandsberechnung, hatten das immer nur über die Hnf, um den Abstand vom Ursprung zur Ebene zu bestimmen und den Rest ganz kurz, kann auch mit meinen Unterlagen dazu nicht mehr wirklich was anfangen

1.) Abstand von einem Punkt P zu einer Geraden

Ich würde da so vorgehen, aber ob das auch richtig ist..?

man fällt das Lot vom Punkt P auf die Gerade, und erhält dadurch zb den Punkt R, der sich auf der Gerade befindet.
Also ist der Vektor PR die Kürzeste Verbindung, also auch der gesuchte Abstand?

vektor PR=r-p
und die Gerade PR ist dann also orthogonal zur Geraden g bzw zum Richtungsvektor der Geraden, deshalb muss gelten: PR*u=0

so und ab jetzt komme ich nicht weiter, da ich nicht weiß, wie ich den Vektor r ausdrücken kann

und wenn ich den Vektor PR habe, muss ich doch einfach nur den Betrag ausrechnen und habe die Entfernung?

und die gleichen probleme bereiten mir die anderen Abstände:

- Abstand von 2 Ebenen...kann ich da mit der HNF rechnen, oder ist die nur nützlich, wenn ich den Abstand einer Ebene vom Ursprung bestimmen will?

- Abstand von 2 Parallelen Geraden

- Abstand windschiefer Geraden

- Abstand Gerade Ebene
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein Irrglaube, dass, wenn du den Normalvektor haben willst, einfach nur Vektor PR * u = 0

Du müsstest für u = 0 einsetzen, damit da auch 0 rauskommt. Denn u ist ja einfach nur eine Zahl.
Außerdem, sobald du den Vektor PR hättest, so brauchst du ja diese orthogonale Gerade ja nicht mehr, sondern bräuchtest nur noch den Betrag des Vektors PR berechnen und das wäre dann der gesuchte Abstand.
Wenn du für u = 3 z.b. einsetzt, so würde das bedeuten, dass du den Vektor PR verdreifachst, er wäre dann also 3 mal so lang.

Denn 3 * (3|4) = (9|12)
Der eine Vektor ist 5 cm lang, der andere ist 15 cm lang.

WAs du meinst, ist, wenn man 2 Vektoren miteinander multipliziert, und es kommt 0 heraus, dann steht der eine Vektor im rechten Winkel auf den anderen.
Und auch mit dieser Formel würdest du nicht zum Normalvektor der gegebenen Geraden kommen.

Und zwar WEIL:

Ein Vektor ist wie ein Pfeil....also wie ein Bleistift, den du in die Luft hältst.

Ich halt nun einen Bleistift in die Luft. Das ist der Richtungsvektor der gegebenen Geraden.
Nun geb ich dir einen 2. Bleistift in die Hand und sag: Leg diesen Bleistift im rechten Winkel zu meinem Bleistift.
Vollzieh das mal mit 2 Bleistiften nach.
Und dann wirst du sehen, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, sodass du den 2. Bleistift an meinen dran hältst. Es gibt also keinen eindeutigen Normalvektor zu meinem Bleistift, sondern unendlich viele Normalvektoren.

DAher....wenn du Vektor a * Vektor b = 0 machst und dann einen Vektor raus kriegst, der im rechten Winkel auf Vektor a steht, dann ist das bloß EINE von unzähligen Möglichkeiten.
Aber DU brauchst EXAKT NUR DIESE EINE RICHTUNG, die von P zu R geht und nicht oben vorbeigeht oder unten vorbei geht....

Wenn du eine Richtung im Raum herausfinden willst, also einen Richtungsvektor haben willst, dann musst du auf die Suche nach 2 Vektoren gehen, die auf deinen gesuchten im rechten Winkel stehen.
Und wenn du die dann gefunden hast, musst von denen Kreuzprodukt machen. Denn dann hast deine gesuchte Richtung:

Beispiel:

Wenn du das Kreuzprodukt von der z-Richtung und der x-Richtung machst, dann kriegst die y-Richtung raus.

oder:

Du suchst die Richtung der y-Achse. Da musst 2 Vektoren finden, die auf die y-Achse im rechten Winkel stehen. Und das ist die Richtung der x-Achse und die Richtung der z-Achse.

Richtung der x-Achse: (1|0|0)
Richtung der z-Achse: ( 0|0|1)

von beiden das Kreuzprodukt ergibt: ( 0|1|0) - die Richtung der y-Achse

Nun zurück zu deinem Beispiel.
Ohne Skizze geht sowieso nix.

Du stellst eine Ebene auf, die im rechten Winkel zur gegebenen Geraden steht und durch den Abstandspunkt geht.

Diese Ebene schneidest du dann mit der Geraden und der Schnittpunkt ist dann R.
Betrag von PR ist dann der gesuchte Abstand.

Wenn du irgendwas nicht verstanden hast, dann sags.


Noch was:
Bau das doch alles mal in Natura nach. Dann beginnt man nämlich zu sehen, was man zu tun hat.
Eine Ebene ist wie ein Blatt Papier, das sich durchs ganze Universum zieht. Von diesem Blatt musst du entweder den Normalvektor kennen (Bleistift dran halten, sodass er im rechten Winkel auf das Blatt steht - bzw. ein Tischbein wäre der Normalvektor von der Tischplatte (= Ebene), oder 2 Richtungsvektoren ( 2 Bleistifte, die du in verschiedener Richtung AUF das Blatt drauf legst) UND einen PUnkt.

lg kiki
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nur eine frage am rande, als (welt)meister im verrechnen:
warum rechnet ihr mit solchen "zahlenwürsten"?

eigesetzt in K ergibt

mit t1 = -1, t2 = -2,
was (sogar bei mir) die (richtigen) schnittpunkte liefert
werner
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

ich hab den Vektor eh durchgekürzt. Es ging bloß darum, dass sie ihn nicht durchgekürzt hat und die Gleichung keine Ergebnisse brachte. Deswegen hab ichs dann auch mit dem ungekürzten gerechnet und bin auch nie auf ein Ergebnis gekommen. Und....ach, lies doch einfach mal alle Posts, hihi. Bin zu müd zum Erklären und kann nix mehr kurz und prägnant ausdrücken.
Und ich bin Weltmeisterin im Kürzen! Das gewöhnt man sich an, wenn man eine Abscheu gegen den TR hat. Ich hasse dieses blöde Eingetippe. Händisch geht das viel schneller - oder auch nicht....wie sich bei dieser Rechnung gezeigt hat, hihi.

gute Nacht von:
Kürzadlerauge kiki
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikira
Hallo Werner,

ich hab den Vektor eh durchgekürzt. Es ging bloß darum, dass sie ihn nicht durchgekürzt hat und die Gleichung keine Ergebnisse brachte. Deswegen hab ichs dann auch mit dem ungekürzten gerechnet und bin auch nie auf ein Ergebnis gekommen. Und....ach, lies doch einfach mal alle Posts, hihi. Bin zu müd zum Erklären und kann nix mehr kurz und prägnant ausdrücken.
Und ich bin Weltmeisterin im Kürzen! Das gewöhnt man sich an, wenn man eine Abscheu gegen den TR hat. Ich hasse dieses blöde Eingetippe. Händisch geht das viel schneller - oder auch nicht....wie sich bei dieser Rechnung gezeigt hat, hihi.

gute Nacht von:
Kürzadlerauge kiki


hallo kiki
TR = taschenrechner?
ich benutze einen HP 42S, ist ca. halb so alt wie ich, aber die benutzen RPN, das ist super, da braucht man sich nicht mit klammern abzuplagen,
es kommt sozusagen freude auf beim tippen.
ich wünsche dir einen schönen sonntag
werner
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »