Bestimmtes Integral (aus: Integrationstheorie)

30.07.2007, 15:34	marcel!	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe auch eine Frage zum Thema: wie integriere ich im Allgemeinen gerbochen rationale Funktionen? meine geg. Funktion lautet $\begin{eqnarray} \int_{0}^{100}~e^{-x} / (100 + x) ~dx \end{eqnarray}$
30.07.2007, 16:41	mylittlehelper	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine "Quotientenregel" wie beim Differenzieren gibt es nicht, aber eine Reihe von Möglichkeiten: - Partialbruchzerlegung - Substitution - Produktintegration (=partielle Integration) - ... Man muss immer schauen, was sich anbietet. Falls du Maple zur Hand hast, dann kann ich dir denn IntTutor wärmstens empfehlen, welcher solche Fragen immer zuverlässig und interaktiv beantwortet. --> EDIT: Dieses Integral scheint nur näherungsweise lösbar zu sein. Jedenfalls versagt sowohl bei mir, als auch bei Maple und Mupad die algebraische Berechnung.
30.07.2007, 17:03	marcel!	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Übersicht. Deine Vermutung ist richtig, es ist auch nach der Abschätzung gefragt. Kannst du mir Tipps geben, wann man am besten wie vorgeht? Ich bin erst jetzt mit der Integration angefangen... Vielen Dank, Gruß
30.07.2007, 17:18	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, setze $\begin{eqnarray} f(x):=\frac{e^{-x}}{100+x} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \int_0^{100} f(x)~\dd x \leq \int_0^{100} \max_{0\leq x\leq100} \|f(x)\|~\dd x = 100\cdot\frac1{100}=1 \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen
30.07.2007, 17:57	marcel!	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erst einmal... könntest du mir den Lösungsweg erklären? Ich kenne die Formel des MWS für Integralrechnung, aber verstehe noch nicht, wie du auf das Ergebnis kommst... Gruß
30.07.2007, 18:56	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Maximum auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,100] \end{eqnarray}$ wird von der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ angenommen, da diese streng monoton fallend ist.
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30.07.2007, 22:08	tensor07	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo marcel! Obwohl es keine elementare Stammfunktion gibt, kannst du dieses integral beliebig gut approximieren (nicht nur abschätzen): $\begin{eqnarray} \int_{0}^{100}\frac{e^{-x}}{100 + x}dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_{100}^{200}\frac{e^{100-y}}{y}dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e^{100}\int_{100}^{200}\frac{\sum_{k=0}^\infty \frac{(-y)^k}{k!}}{y}dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e^{100}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\int_{100}^{200}\frac{ (-y)^k}{y}dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e^{100}\left ( \log 2 + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}\frac{ (-200)^k -(-100)^k}{k} \right ) \end{eqnarray}$ Gruss

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