Potenzen Normalverteilung

30.07.2007, 18:18	varianzmaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen Normalverteilung Jungs! Ganz einfach Sache, aber ich find nirgends ne Erklärung, vielleicht könnt ihr mir ja helfen... e ist N(0,1)-verteilt. Warum ist jetzt $\begin{eqnarray} e^4=3 \end{eqnarray}$ . Lässt sich das irgendwie berechnen? Danke und Grüße, varianzmaster
30.07.2007, 19:49	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen Normalverteilung Hallo! $\begin{eqnarray} e^4 \end{eqnarray}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ . Was du meinst ist: $\begin{eqnarray} \operatorname{E}(e-\mu)^4=3 \end{eqnarray}$ . Das ist das vierte Zentralmoment, auch bekannt als Kurtosis. Such danach mal, wenn du nichts findest - ja das kann man berechnen, aber dafür reicht leider meine Zeit gerade nicht. (Sagt dir momenterzeugende Funktion etwas?)
31.07.2007, 02:48	varianzmaster	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, danke für die antwort... habs falsch aufgeschrieben... MEF habe ich schonmal gehört, aber ich glaube was ich wissen will ist viel elementarer für eine N(0,1) verteilte variable e gilt doch E(e^4) = 3. why? das muss doch anhand irgendwelcher rechenregeln mit der normalverteilung einfach zu lösen sein? danke!
31.07.2007, 08:06	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen Normalverteilung Ich muss mich entschuldigen, meine Antwort war nicht ganz korrekt. Also erstmal, $\begin{eqnarray} e^4=3 \end{eqnarray}$ ist nicht nur falsch notiert, sondern würde die Gleichheit einer Zufallsvariablen und einer Konstanten bedingen. $\begin{eqnarray} \operatorname{E}(e-\mu)^4 \end{eqnarray}$ ist das vierte Zentralmoment und dieses ist gleich $\begin{eqnarray} 3\sigma^4 \end{eqnarray}$ . Die Kurtosis ergibt sich hieraus als $\begin{eqnarray} K=\frac{\operatorname{E}(e-\mu)^4}{\sigma^4}=3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \operatorname{E}(e^4) \end{eqnarray}$ ist das vierte Anfangsmoment, und das ist hier nur das gleiche, weil $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ standardnormalverteilt sein soll. Von der Notation her, würde ich trotzdem die obige vorziehen, da nur diese eindeutig ist und unabhängig von der Verteilung gilt. Und zur momenterzeugenden Funktion, dann weißt du ja auch, wie du die Anfangsmomente mit Hilfe der Ableitungen an der Stelle null berechnen kannst und daraus die Zentralmomente gewinnst.

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