Berechnung eines Integrals

30.07.2007, 22:17

lonesome-dreamer

Berechnung eines Integrals

Hallo,
ich muss folgende Funktion integrieren:
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x} \cdot \frac{-2-x}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$
Wie geht man denn da am besten vor?

Gruß
Natalie

30.07.2007, 22:22

Calvin

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Laut dem Wolfram-Integrator wirst du da wenig Glück haben. Woher kommt die Funktion?

EDIT

Sorry, hatte mich beim wolfram-Integrator vertippt. Integral ist lösbar.

30.07.2007, 22:29

tensor07

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RE: Berechnung eines Integrals
Hallo Natalie

Sind die Konstanten richtig? Teufel

Wenn ja, wurdest du auch ein bestimmtes Integrationsintervall gegeben? In einigen Fällen lässt sich ein solches Integral mittels Cauchy berechnen (Funktionentheorie). Eine elementare Stammfunktion zu finden scheint mir im ersten Blick unmöglich. Du kannst jedenfalls durch partielle Integration anfangen Augenzwinkern

Gruss

30.07.2007, 22:33

riwe

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Zitat:

Original von Calvin
Laut dem Wolfram-Integrator wirst du da wenig Glück haben. Woher kommt die Funktion?

hast du dich da vertippt oder ich mich vertan verwirrt

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{e^{-x}}{x+1}+C \end{eqnarray*}$

30.07.2007, 22:35

lonesome-dreamer

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Als Ergebnis kommt das raus: $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{e^{-x}}{x+1} \end{eqnarray*}$

Mit partieller Integration komm ich nicht weiter.

30.07.2007, 22:38

Calvin

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Zitat:

Original von riwe
hast du dich da vertippt oder ich mich vertan verwirrt

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{e^{-x}}{x+1}+C \end{eqnarray*}$

Ups

Danke riwe fürs Kontrollieren. Dann habe ich mich vorhin wohl vertippt. Ich werde mein Posting oben entsprechend ergänzen.

30.07.2007, 22:44

tensor07

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Die gegebene Stammfunktion ist natürlich richtig! Wenn man sie hat, dann ist es einfach, einen Lösungsweg zu finden, indem die Schritte der Quotientenregel rückwärts aufschreibt Lehrer

Als Nebenwirkung dieses Vorgehens scheint man extrem geschickt.

$\begin{eqnarray*} e^{-x}\frac{-x-2}{(x+1)^2} =-e^{-x}\frac{x+1}{(x+1)^2}-\frac{e^{-x}}{(x+1)^2}=\frac{-e^{-x}}{x+1}-\frac{e^{-x}}{(x+1)^2}=\frac{\frac{d}{dx}e^{-x}}{x+1}+e^{-x}\frac{d}{dx}\frac{1}{x+1}=\frac{d}{dx}\frac{e^{-x}}{x+1} \end{eqnarray*}$

Mit Integrationszeichen:

$\begin{eqnarray*} \int e^{-x}\frac{-x-2}{(x+1)^2} dx=\int \frac{-e^{-x}}{x+1} dx +\int\frac{-e^{-x}}{(x+1)^2} dx \end{eqnarray*}$

Diese Terme behandelt man separat: partielle Integration wird nur einmal (gemäss der ersten Gleichung) angewendet, z.B. man integriert $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ und leitet $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ ab in $\begin{eqnarray*} \int \frac{-e^{-x}}{x+1} dx \end{eqnarray*}$ . Das andere Term wird sich dann kürzen.

30.07.2007, 22:56

lonesome-dreamer

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Also, da man das Integral nicht so ohne weiteres bestimmen kann, sag ich euch mal, wie ich darauf gekommen bin:

Die DGL $\begin{eqnarray*} (1+x)y''-(2+x)y'=-2-x \end{eqnarray*}$ soll gelöst werden.
Ich habe $\begin{eqnarray*} y'=t \end{eqnarray*}$ substituiert und die daraus resultierede homogene DGL gelöst: $\begin{eqnarray*} (1+x)t'-(2+x)t=0 \end{eqnarray*}$
Für t habe ich dann $\begin{eqnarray*} t=ce^x(1+x) \end{eqnarray*}$ raus bekommen.
Dann habe ich versucht mittels Variation der Konstanten die Gleichung zu lösen:
$\begin{eqnarray*} t(x)=c(x)e^x(1+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t'(x)=e^x(c'(x)(1+x)+c(x)(1+x)+c(x)) \end{eqnarray*}$
Das hab ich dann in die Gleichung $\begin{eqnarray*} (1+x)t'-(2+x)t=-2-x \end{eqnarray*}$ und schlussendlich bin ich dann halt auf $\begin{eqnarray*} c'(x)=e^{-x} \cdot \frac{-2-x}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ gekommmen, was ich dann integrieren müsste.
Aber da das anscheinend nicht so einfach ist, gibt es bestimmt noch ne andere Möglichkeit, die DGL zu lösen, oder?

31.07.2007, 00:40

tensor07

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Jedenfalls ist $\begin{eqnarray*} t(x) = c(x)e^x(1+x) = \frac{e^{-x}}{1+x}e^x(1+x) = 1 \end{eqnarray*}$ ... kann man dies auch anders beweisen, ohne dass man einen expliziten Ausdruck für $\begin{eqnarray*} c(x) \end{eqnarray*}$ kennt? Kann man eine homogene DGL erster Ordnung für $\begin{eqnarray*} c(x) \end{eqnarray*}$ finden?

31.07.2007, 10:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Also, da man das Integral nicht so ohne weiteres bestimmen kann

Lies die Antworten, die dir gegeben werden. Ansonsten hat es keinen Sinn, hier zu fragen.

31.07.2007, 11:15

lonesome-dreamer

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Da ich darauf, das so zu integrieren wie tensor07 es weiter oben gemacht hat, nie gekommen wäre, würde ich gerne wissen, ob es noch eine andere Möglichkeit gibt, diese DGL zu lösen.

31.07.2007, 11:29

riwe

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mache es so wie ich - "auf verdacht" unglücklich

substituiere $\begin{eqnarray*} u =\frac{e^{-x}}{x+1} \end{eqnarray*}$

damit bekommst du

$\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~~du =u \end{eqnarray*}$

und bestätige nun deinen verdacht durch differenzieren unglücklich

31.07.2007, 11:38

lonesome-dreamer

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Hi werner,
danke für den Tipp.
Dann hab ich bei der Lösung der DGL also keine andere Möglichkeit, als das mit Variation der Konstanten zu lösen?

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