Partialbruchzerlegung

18.02.2005, 18:17

DanielE

Partialbruchzerlegung

Ich habe mich heute mal mit der Partialbruchzerlegung beschäftigt.
Habe alle 3 Fälle behandelt und auch verstanden.
Die einzige Frage, die ich noch habe ist, wann bei der Partialbruchzerlegung ein Linearfaktor im Zähler einer der Partialbrüche vorkommt.
Also wie im Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{17-7x}{(x-1)(x^{2}-4x+13) }~dx =\frac{A}{x-1}+ \frac{B\cdot x+C}{x^{2}-4x+13} \end{eqnarray*}$
Ich verstehe nicht, woran ich sehe, dass ich im zweiten Partialbruch einen Linearterm der Form ax-c haben muss .... Könnt ihr mir helfen ?
Da muss es doch eine Regel geben.

Wann mache ich bei einfacher, zweifacher und dreifacher Nennernullstelle ?
Was mache ich bei der Form (ax^2+c)^2 ?

Und vorallem, wie behandele ich die oben angegebenen Polynome ?

Danke !

18.02.2005, 18:56

Seimon

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RE: Partialbruchzerlegung
$\begin{eqnarray*} \frac{A\cdot x+B}{x^{2}+ax+b} \end{eqnarray*}$ machst du wenn $\begin{eqnarray*} x^{2}+ax+b \end{eqnarray*}$ (konjugiert) komplexe Nullstellen hat!

18.02.2005, 19:02

DanielE

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was isnd konjugiert komplexe Nullstellen ?

Hatte vorher folgende Aufgabe (ist sehr ähnlich zu der im ersten Thread):

http://www.design-puetz.de/Bilder/alte/1.gif

Die hat ja Nullstellen, die nicht im Reellen liegen, also ist das Integral nicht so einfach in Partialbrüche aufzuteilen. Könnte ich die Aufgabe auch einfach
mit der Form Bx+c/..... lösen ?

18.02.2005, 19:27

Seimon

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Zitat:

Original von DanielE
was isnd konjugiert komplexe Nullstellen ?

$\begin{eqnarray*} x^{2}-4x+13 \end{eqnarray*}$ hat die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1=2+3i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2= 2-3i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

das nennt man dann eine komplexe Zahl!

siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen

Das zweite Integral löst du so: (das ist bereits Partialbruchzerlegt!)

$\begin{eqnarray*} \int \frac 1 {x^{2}-4x+13}~dx=\int \frac 1 {x^{2}-4x+4+9}~dx=\int \frac 1 {(x-2)^{2}+9}~dx=\frac 1 9 \int \frac 1 {(\frac{x-2} 3)^{2}+1}~dx \end{eqnarray*}$

nennt sich eben quadratische Ergänzung!

und jetzt $\begin{eqnarray*} z=\frac{x-2} 3 \end{eqnarray*}$ substituieren!

19.02.2005, 12:39

iammrvip

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@DanielE
Wenn ihr noch keine komplexen Zahlen kennst, warum macht ihr dann schon Partialbruchzerlegung verwirrt

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Partialbruchzerlegung

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