Potenzreihe und TAYLOR-Reihe

31.07.2007, 19:23	kommando_pimperlepim	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe und TAYLOR-Reihe Ich habe heute versucht, die Grundzüge von Potenzreihen und ihrem Konvergenzreadius zu verstehen. Da es mir schwer fällt, meine Frage in einem Satz zu formulieren, würde ich sie gerne (auf die Gefahr hin, dass ich mir kompletten Schwachsinn zusammendichte) so ausdrücken: Sind die folgendenen Gedanken richtig? 1. In der Theorie der TAYLOR-Entwicklung reeller Funktionen kann man die TAYLOR-Reihe einer unendlich-differenzierbaren Funktion f aufstellen. 2. Die Frage, ob diese in einer Umgebung der Entwicklungsstelle konvergiert, ist im reellen mitunter schwer zu untersuchen. 3. Durch die Theorie der Potenzreihen, kann man diese TAYLOR-Reihe formal als komplexe Reihe auffassen und ihren Konvergenzradius R ermitteln (z. B. mit den Formeln von HADAMARD-CAUCHY). 4. Wenn R>0 ist, so konvergiert diese komplexe Potenzreihe in einer Umgebung von der Entwicklungsstelle (im Inneren des Konvergenzkreises) gleichmäßig und das gilt auch für den reellen Teil des Konvergenzkreises. 5. Also wenn R>0 ist, konvergiert auch das reelle TAYLOR-Polynom in einer Umgebung von der Entwicklungsstelle (das haben wir Analytizität von f genannt) und man hat damit ein neues hinreichendes Kriterium für diese Analytizität erhalten.
31.07.2007, 22:22	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe und TAYLOR-Reihe Hi! Vielleicht jetzt nicht direkt auf die Fragen oder deine Gedanken, aber ich glaube, wir sollten nochmal einiges klären. Fangen wir bei $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ -mal differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an: diese können als eine Summe des $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Taylorpolynoms $\begin{eqnarray} T_n f \end{eqnarray}$ und des Restglieds $\begin{eqnarray} R_n f \end{eqnarray}$ geschrieben werden, d.h $\begin{eqnarray} f(x)=T_n f(x)+R_n(x) \end{eqnarray}$ . Das Taylorpolynom hat für diesen Fall dann die Form $\begin{eqnarray} T_n f(x)=\sum_{k=0}^{n}\cfrac{1}{k!}~f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k \end{eqnarray}$ mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Die unterschiedlichen Restglieder, bsw. nach Cauchy oder Lagrange möchte ich hier nicht notieren. Nimmt man nun eine unendlich oft diff'bare Funktion, so lautet die Taylorreihe $\begin{eqnarray} T_n f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{1}{k!}~f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k \end{eqnarray}$ Nur um klar zu machen, dass es nicht nur unbedingt um unendlich oft diff'bare Funktionen geht! Bemerkung: Das n-te Restglied lässt sich bei $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ -mal diff'baren Funktionen meist mittels der Ableitung $\begin{eqnarray} f^{(n+1)} \end{eqnarray}$ abschätzen. Aber auch wenn eine Funktion unendlich diff'bar ist, muss die Reihe nicht überall konvergieren, im Extremfall sogar nur am Entwicklungspunkt. Selbst bei Konvergenz muss die Reihe mit der Funktion nicht übereinstimmen. Erst wenn die Funktion analytisch ist, ist die Existenz der Taylorreihe sichergestellt, wobei gleichzeitig diese auch die Funktion darstellt! Dann stimmen Taylor- und Potenzreihen überein. Nur als Tipp: bitte Vorsicht, ob du von reellen oder komplexen Werten sprichst. Im Komplexen können Funktionen ein ganz und gar unappetitliches Verhalten entwickeln!
31.07.2007, 22:37	kommando_pimperlepim	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Ergänzungen. Dass die Konvergenz der Reihe allein nicht die Konvergenz zu f selbst sein muss, zeigt ja z. B. das Gegenbeispiel von CAUCHY: $\begin{eqnarray} e^{-1/x^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x= 0 \end{eqnarray}$ Das Hauptresultat über Potenzreihen besagt doch aber: Jede Potenzreihe konvergiert gleichmäßig im Inneren ihres Konvergenzkreises zu einer Grenzwertfunktion (nennen wir sie hier f) und ist das Taylorpolynom dieser Funktion. Ist an der letzten Behauptung etwas falsch? Falls nicht, könntest du mit dem Finger noch etwas genauer auf das zeigen, was bisher falsch ist?
31.07.2007, 22:44	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt vielmehr folgender Satz: Wird $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ durch eine Potenzreihe mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ angesehen, d.h. $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n, \end{eqnarray}$ dann stimmt die Taylorreihe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ mit der Potenzreihenentwicklung überein. Beweis folgt ganz einfach über den Satz, dass Potenzreihen innerhalb ihrers Konvergenzkreises beliebig oft diff'bar sind. Beantwortet das die Frage?
01.08.2007, 09:51	kommando_pimperlepim	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, habe ich dich richtig verstanden, wenn ich sage: Sei $\begin{eqnarray} s_n (x) = \sum_{i=1} ^n a_i (x-x_0)^i \end{eqnarray}$ Jede Potenzreihe $\begin{eqnarray} s_n \end{eqnarray}$ konvergiert im Inneren ihres Konvergenzkreises zu irgendeiner Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} s_n \end{eqnarray}$ die TAYLOR-Reihe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ war, muss deswegen nicht $\begin{eqnarray} g=f \end{eqnarray}$ sein und darin bestand mein Denkfehler (?)
01.08.2007, 09:58	kommando_pimperlepim	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beispiel beim CAUCHY-Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{array}{cc} e^{-1/x^{2}} & x\neq0\\ 0 & x=0\end{array} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \forall i\in \mathbb{N}: f^{(i)}(0)=0 \end{eqnarray}$ Damit ist die zugegeben triviale TAYLOR-Reihe um die Stelle $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_n = \sum_{i=0} ^n a_i (x-0)^i =0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i =0 \end{eqnarray}$ der Konvergenzradius ist $\begin{eqnarray} R=\infty \end{eqnarray}$ , die Reihe $\begin{eqnarray} s_n \end{eqnarray}$ konvergiert überall gleichmäßig zu einer Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=0 \end{eqnarray}$ die aber verschieden von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist.
Anzeige

01.08.2007, 12:32	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei vorsichtig mit der Formulierung Potenzreihe: denn du hast in deinem vorletztem Beitrag keine Potenzreihe hingeschrieben! Deine Voraussetzungen sind etwas zu unscharf. Sei bei dir $\begin{eqnarray} s=s(x) \end{eqnarray}$ eine Funktion, die mittels einer Potenzreihe dargestellt werden kann. Dann brauchst du auch eine Voraussetzung an die Differenzierbarkeit - bei einer rein stetigen Funktion s ist natürlich die Frage nach Taylorentwicklung sinnlos... Also präzisiere das noch einmal. Und selbst wenn deine konvergiert - das kann auch nur um den Entwicklungspunkt sein... Solange deine Funktion nicht analytisch ist, müssen Potenz- und Tylorreihe nicht übereinstimmen. Also allgemein muss nicht Taylorentwicklung mit der Funktion übereinstimmen!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »