Fraglicher Beweisschritt (Funktionenfolgen)

31.07.2007, 19:54	kommando_pimperlepim	Auf diesen Beitrag antworten »
Fraglicher Beweisschritt (Funktionenfolgen) Wir hocken schon ewig vor einem Beweis, in welchem uns ein Schritt unklar ist. Wenn jemand eine Idee hat, währen wir sehr dankbar. (, d. h. dieser Post hat 3 Autoren und ist daher von besonders hoher Priorität.) Zunächst der Satz: Sei $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ eine Folge reeller Funktionen auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ Wenn gilt: 1. $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ konvergiert gleichmäßig zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb{N}: f_n \in R[a,b] \end{eqnarray}$ Dann folgt: $\begin{eqnarray} f\in R[a,b] \end{eqnarray}$ Zum Beweis: Als erstes wird nachvollziehbar bewiesen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ beschränkt sein muss. Soweit ist der Beweis okay. Daraus folgt, dass jede DARBOUX-Summe existiert. Jetzt heißt es, wegen der gleichmäßigen Konvergenz gilt: (1) $\begin{eqnarray} \forall x \in [a,b]: \forall \epsilon >0 : \exists N : \forall n>N: \mid f_n (x)-f(x)\mid<\frac{\epsilon}{3(b-a)} \end{eqnarray}$ Unsere Bezeichnungsweise der unteren DARBOUX-Summe lautet: $\begin{eqnarray} s(f,\tau)=\sum_{k=1} ^n m_k (f,\tau)\cdot (x_k -x_{k-1}) \end{eqnarray}$ Nun wird folgende Abschätzung vorgenommen: $\begin{eqnarray} [m_k (f_{N+1},\tau)-m_k (f,\tau)]<\frac{\epsilon}{3(b-a)} \end{eqnarray}$ Die Begründung soll angeblich Gleichung (1) geben. Aber diese Gleichung sagt nur etwas über Differenzen zwischen Funktionswerten an der gleichen Stelle. Die $\begin{eqnarray} m_k(f_{N+1},\tau),m_k(f,\tau) \end{eqnarray}$ sind jedoch Infimum-Werte der Funktion im Teilintervall. Es sind nicht unbedingt Funktionswerte, da wir nicht wissen, ob $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist, und ihre Differenz hat auch nichts mit der Differenz zweier Funktionswerte an derselben Stelle zu tun, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{N+1} \end{eqnarray}$ ihr Infimum durchaus an verschiedenen Stellen annehmen können. Wer hier schlauen Rat weiß, wird ehrlichen Dank ernten.
31.07.2007, 22:02	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fraglicher Beweisschritt (Funktionenfolgen) Die $\begin{eqnarray} m_k(f_{N+1},\tau),m_k(f,\tau) \end{eqnarray}$ sind sehr wohl Funktionswerte, denn mit ihnen bildest du doch die Darbouxsumme. Abgesehen davon weißt du, dass f stetig ist. Das folgt doch aus der gleichmäßigen Konvergenz Die letzte Abschätzung folgt in der Tat aus (1), denn: Für den Index N+1 versehen mit dem Minimum muss die Abschätzung erst recht gelten, wenn (1) gilt
31.07.2007, 22:24	kommando_pimperlepim	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gleichmäßige Konvergenz führt nur dann wenn alle $\begin{eqnarray} f_n \in C[a,b] \end{eqnarray}$ sind, zu $\begin{eqnarray} f\in C[a,b] \end{eqnarray}$ . Das ist aber nicht gegeben. Deswegen darf ich nicht annehmen, dass f stetig ist. Was ist daran falsch? Außerdem dachte ich, dass die Definition lautet $\begin{eqnarray} m_k (f,\tau) := inf \{ f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\} \end{eqnarray}$
01.08.2007, 11:21	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist zwar indirekt klar, was mit R[a,b] gemeint ist, aber du hast es nicht hingeschrieben.
01.08.2007, 21:51	kommando_pimperlepim	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeint ist die Menge der auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ RIEMANN-integrierbaren Funktionen. Dabei ist $\begin{eqnarray} [a,b]:=\{ x\in \mathbb{R}:a\leq x\leq b\} \end{eqnarray}$

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