Reihendarstellung von Funktionswerten (aus: Potenzreihe und TAYLOR-Reihe)

31.07.2007, 20:26

marcel!

RE: Potenzreihe und TAYLOR-Reihe

Zur Taylorreihe habe ich auch noch eine offene Frage...

Wenn ich einen exakten Wert z.B. cos(15) auf 3 Nachkommastellen berechnen soll, dann ist mir das Vorgehen noch unklar...

Nach Ermitteln der Funktionsvorschrift einfach 15 in die Gleichung einsetzen???

Gruß

31.07.2007, 20:41

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst einmal: Neue Fragen gehören in einen neuen Thread.

Als nächstes: Ja, einsetzen und so lange Glieder ausrechnen, bis das entsprechende Restglied klein genug wird.

31.07.2007, 21:05

marcel!

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich wollte deswegen keinen neuen Thread aufmachen, damit das nicht unnötig die Übersicht erschwert...

Bei der Berchnung von sin(15) auf 3 Nachkommastellen bin ich jetzt so weit...
Ich habe als geeigneten Startwert $\begin{eqnarray*} 5\pi \end{eqnarray*}$ gewählt, da dieser ja in der Nähe von 15 liegt.
Und hier die ersten Gleider
$\begin{eqnarray*} f(x) = sin(5\pi) + cos(5\pi)(x-5\pi) - 1/2*sin(5\pi)(x-5\pi)^2 ... \end{eqnarray*}$

Naja, bei mir haperts immer noch am Verständnis. Nimmt man hier einfach (platt gesagt) einen anderen Wert für die 15? Normalerweise sollte der Startwert doch einem Funktionswert in der Nähe des Ergebnisses entsprechen?!

Danke.

31.07.2007, 22:15

marcel!

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich brache zu meiner Frage bitte Hilfe. Will das endlich verstehen...

31.07.2007, 22:29

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von marcel!
Sorry, ich wollte deswegen keinen neuen Thread aufmachen, damit das nicht unnötig die Übersicht erschwert...

Die Übersicht wird vor allem erschwert, wenn völlig unterschiedliche Fragen (ich erinnere mich an deine Frage nach einer Stammmfunktion im Thread zur Lebesgue-Integrationstheorie...) im gleichen Thread behandelt werden. Fragen zur Wertebestimmung von bekanntermaßen konvergenten Taylorreihen haben in einem Thread, in dem es um die Konvergenz von Taylorreihen im Allgemeinen geht, auch nichts zu suchen.

Zitat:

Original von marcel!
Bei der Berchnung von sin(15) auf 3 Nachkommastellen bin ich jetzt so weit...
Ich habe als geeigneten Startwert $\begin{eqnarray*} 5\pi \end{eqnarray*}$ gewählt, da dieser ja in der Nähe von 15 liegt.
Und hier die ersten Gleider
$\begin{eqnarray*} f(x) = sin(5\pi) + cos(5\pi)(x-5\pi) - 1/2*sin(5\pi)(x-5\pi)^2 ... \end{eqnarray*}$

Naja, bei mir haperts immer noch am Verständnis. Nimmt man hier einfach (platt gesagt) einen anderen Wert für die 15? Normalerweise sollte der Startwert doch einem Funktionswert in der Nähe des Ergebnisses entsprechen?!

Einen anderen Wert für die 15? Da kommt keine 15 in deiner Taylorreihe vor.

Du möchtest also die Taylorreihe des Sinus um den Punkt $\begin{eqnarray*} 5\pi \end{eqnarray*}$ entwickeln. Mit

$\begin{eqnarray*} \sin 5\pi = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos 5\pi = -1 \end{eqnarray*}$

kommst du damit auf

$\begin{eqnarray*} \sin x = -(x-5\pi) + \frac{1}{6}(x-5\pi)^3 - \frac{1}{120}(x-5\pi)^5 + \frac{1}{5040}(x-5\pi)^7 - ... \end{eqnarray*}$ .

Da setzst du jetzt einfach x = 15 ein.

Interessant ist natürlich zu wissen, wie weit du rechnen musst. Die Lagrangesche Restgliedformel sagt dir, dass der Fehler kleiner als

$\begin{eqnarray*} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-5\pi)^{n+1} \end{eqnarray*}$

ist, $\begin{eqnarray*} \xi\in[5\pi,15] \end{eqnarray*}$ , wenn du bis zum n. Glied rechnest. Weil man hier die Ableitung und die Potenz rechts bequem mit 1 abschätzen kann, sieht man, dass man beim 7. Glied der Fehler schon kleiner als 1/1000 ist.

edit: Ich mache LaTeX-Anfängerfehler... Hammer

31.07.2007, 22:33

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Du gehst das leider schon falsch an, marcel. Wenn man eine Funktion durch eine Taylorreihe darstellen möchte, dann kommt ja die Funktion selbst darin nicht vor. Dann beißt sich nämlich die Katze in den Schwanz.

Die Grundstruktur einer Taylorreihe sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} T_{x_0}(x) = \sum_{k=0}^\infty~\frac{f^k(x_0)}{k!} (x-x_0)^k = f(x_0)+f'(x_0) (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2} (x-x_0)^2 + \ldots \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt ist und wir hier $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ haben.

Da du ja nur bis auf 3 Stellen rechnen musst, reicht ein Taylorpolynom n-ten Grades aus, d.h. es gibt nur endlich viele Summenglieder.

Entgegen deiner Vorstellung muss der gesuchten Wert nicht in der Nähe des Entwicklungspunktes/Startwertes liegen (ist global approximierbar). Deshalb nehmen wir der Einfachheit halber $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ an.
So nun berechnen wir die ersten paar Ableitungen des Sinus im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \sin(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(0)=\cos(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0)= -\sin(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(0)= -\cos(0)=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{IV}(0)=\sin(0)=0 \end{eqnarray*}$
Und der Zyklus beginnt wieder von vorn....

So jetzt, da du die Ableitungen kennst, muss man nur noch alles in die Taylorformel gießen und den gesuchten x-Wert einsetzen, dann hat man eine Näherung.

31.07.2007, 22:37

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrPSI
Entgegen deiner Vorstellung muss der gesuchten Wert nicht in der Nähe des Entwicklungspunktes/Startwertes liegen (ist global approximierbar). Deshalb nehmen wir der Einfachheit halber $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ an.

Weia. Wie viele Glieder willst du denn ausrechnen wollen?

Im Allgemeinen hat eine Taylorreihe auch nicht den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , damit kann man also so richtig auf die Nase fliegen.

31.07.2007, 22:42

marcel!

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sqrt, EDIT: Danke PSI! smile

31.07.2007, 22:42

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sqrt2
Weia. Wie viele Glieder willst du denn ausrechnen wollen?

Ich peil mal über den Daumen, dass das so 10 Glieder sein dürften. Eh nicht viel. Der Sinus hat ne einfache Struktur und ich bin schon ergere Rechnereien gewöhnt Big Laugh

Zitat:

Original von sqrt2
Im Allgemeinen hat eine Taylorreihe auch nicht den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , damit kann man also so richtig auf die Nase fliegen.

Ja, stimmt schon, warn Fehler dieses Wissen vorauszusetzen, weil man ja die genaue Aufgabenaufstellung nicht kennt.

31.07.2007, 22:48

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrPSI
Ich peil mal über den Daumen, dass das so 10 Glieder sein dürften. Eh nicht viel.

Mit $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ sieht man auf den ersten Blick, dass es mehr als 15 sein werden, wenn man die Ableitung mit 1 abschätzt, denn $\begin{eqnarray*} 15^{15}>15! \end{eqnarray*}$ . Der Taschenrechner spuckt dann die Zahl 45 aus...

31.07.2007, 23:01

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, ok, is dann doch ein bisschen viel ... Big Laugh

Werd draus lernen und mir in Zukunft genauer überlegen, welcher Entwicklunspunkt zu nehmen ist.

Neue Frage »

Antworten »

Reihendarstellung von Funktionswerten (aus: Potenzreihe und TAYLOR-Reihe)

Verwandte Themen