Weitere Aufgabe mit wirtschaftswissenschaftlichem Bezug

18.02.2005, 21:14

Austi

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Weitere Aufgabe mit wirtschaftswissenschaftlichem Bezug

Hallo zusammen!

Also es handelt sich um Folgendes:

Aufgabe 1

Ein Anbieter tritt als Monopolist am Markt auf. Durch Marktbeobachtungen hat er folgende Sachverhalte festgestellt:

Er kann für sein Produkt als Höchstpreis 10 € verlangen. Die Sättigungsmenge betrage 100 Mengeneinheiten. Vereinfacht werden eine lineare Preis-Absatz-Funktion und eine lineare Gesamtkostenfunktion unterstellt.
Seine Kostenfunktion K(x) sei durch folgende Bedingungen bekannt:
Werden 20 ME produziert, fallen 160 € an Gesamtkosten an. Die Grenzkosten betragen dann 2 €.

a) Bestimmen Sie die Preis-Absatz-Funktion und die Erlösfunktion.
b) Berechnen Sie den gewinnmaximalen Preis und den max. Gewinn.
c) Berechnen Sie den Bereich der Gewinnzone (Gewinnschwelle; Gewinngrenze)
d) Berechnen Sie die Fläche der entstehenden Gewinnlinse.
e) Die Gewinnlinse rotiere um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Aufgabe 2

Kein Monopol

a) Das Unternehmen hat folgende Funktionen ermittelt:
Nachfragefunktion $\begin{eqnarray*} f_N(x) = \frac{15}{x-0,5} \end{eqnarray*}$

Angebotsfunktion $\begin{eqnarray*} f_A(x) = 0,8x + 2 \end{eqnarray*}$

b) Nachfragefunktion $\begin{eqnarray*} f_N(x) = \sqrt{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Angebotsfunktion $\begin{eqnarray*} f_A(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie jeweils das Marktgleichgewicht (Angebot und Nachfrage stimmen überein).

Ansatz:

1a) $\begin{eqnarray*} P_N(x)=-0,1x+10 \end{eqnarray*}$
1a) $\begin{eqnarray*} E(x)=-0,1x^2+10x \end{eqnarray*}$

Aber was kommt denn als Kostenfuinktion heraus??

MfG
Austi

19.02.2005, 16:15

Frooke

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Soweit ich das weiss, sind die Grenzkosten die Ableitung der Kostenfunktion... Ich weiss nicht ob das hilft... Muss jetzt weg sorry...

19.02.2005, 16:37

Austi

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ja, genau... Das habe ich auch schon heraus gefunden... aber trotzdem komme ich auf nichts Gescheites bei der Kostenfunktion...

MfG
Austi

20.02.2005, 13:36

Gast

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Was hast Du dir denn schon überlegt bezüglich der Kostenfunktion?

20.02.2005, 13:41

Austi

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Hallo Gast!

Ja, sie muss vom Typ K(x)=m*x+b sein...

I. K(20)=160 ---> m*20+b=160
II. --> ja hier fehlt mir die Bedingung, die sich aufgrund der Grenzkosten ergibt...

Hat jemand eine Idee?? Außerdem weiß ich nicht, wie man den gewinnmaximalen Preis ausrechnet... Weiß da vielleicht jemand wie?? Wie man auf den max. Gewinn kommt, ist mir klar --> E'(x)=0 setzen...

MfG
Austi

20.02.2005, 15:37

Gnu

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Ich antworte mal ohne Gewähr:

Du hast ja K(x)=mx+b und Du weißt:

$\begin{eqnarray*} K(20)=160 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K'(x)=2 \end{eqnarray*}$ - zumindest wenn ich die Angabe richtig verstanden habe, daraus kannst Du Deine Kostenfunktion bestimmen.
Die PAF kannst Du über deinen Höchstpreis und die Sättigungsmenge bestimmen wenn Du weißt wie ne PAF aussieht und was sie aussagt.

Was die Erlösfunktion angeht steh ich ein wenig aufm Schlauch...

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20.02.2005, 16:20

Austi

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Ja, die Frage ist ob dies hier meine Bedingungen sind...

$\begin{eqnarray*} K(20)=160 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K'(x)=2 \end{eqnarray*}$

oder ob dies hier meine Bedingungen sind...

$\begin{eqnarray*} K(20)=160 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K'(20)=2 \end{eqnarray*}$

(wegen dem Wortlaut: "Die Grenzkosten betragen dann (??bei 20 ME??) 2 €.")

MfG
Austi

edit: lautet denn dann die Funktion $\begin{eqnarray*} K(x)=2x+120 \end{eqnarray*}$ ??

20.02.2005, 16:37

Gnu

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Zitat:

Vereinfacht werden eine lineare Preis-Absatz-Funktion und eine lineare Gesamtkostenfunktion unterstellt.

Wenn die Gesamtkostenfunktion linear ist, sind die Ableitung bzw. die Steigung bzw. die Grenzkosten überall gleich, weil, wenn Du eine lineare Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ nach x ableitest, erhältst Du $\begin{eqnarray*} f'(x)=a \end{eqnarray*}$ - daraus folgt dass Deine Grenzkosten überall gleich sein müssen bei linearer Gesamtkostenfunktion, sie hängen also nicht mehr von x ab. smile

smile

20.02.2005, 16:46

Austi

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gut, da haste wohl recht... Also ist folgende Gesamtkostenfunktion korrekt??
$\begin{eqnarray*} K(x)=2x+120 \end{eqnarray*}$ ??

MfG
Austi

20.02.2005, 16:53

Gnu

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Genau das meinte ich smile

smile

20.02.2005, 17:08

Austi

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RE: Weitere Aufgabe mit wirtschaftswissenschaftlichem Bezug

Zitat:

Original von Gnu
Die PAF kannst Du über deinen Höchstpreis und die Sättigungsmenge bestimmen wenn Du weißt wie ne PAF aussieht und was sie aussagt.

Was die Erlösfunktion angeht steh ich ein wenig aufm Schlauch...

Ja gut, die PAF habe ich ja bereits:

$\begin{eqnarray*} P_N(x)=-0,1x+10 \end{eqnarray*}$

genauso wie die Erlösfunktion

$\begin{eqnarray*} E(x)=-0,1x^2+10x \end{eqnarray*}$

Aber wie bekomme ich denn den gewinnmaximalen Preis heraus?? PAF ableiten und dann =0 setzen?? Eher nicht, oder?? dann würde da ja 0,1=0 stehen...

MfG
Austi

20.02.2005, 18:47

Gnu

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Sagt Dir der Cournotsche Punkt etwas? smile

smile

(Nicht dass das jetzt aus der Aufgabe herausgehen würde, aber den verwendet man gewöhnlicherweise bei Maximalgewinnermittlung für die Preisbildung eines Monopolisten)

20.02.2005, 19:28

Austi

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ja, durchs googeln, habe ich Folgendes herausgefunden:

"Der Cournotsche Punkt zeigt die für den Monopolisten gewinnmaximierende Preis-Mengenkombination, wenn man so will seinen "Angebotspunkt". Im Mineralwassermonopol* teilt der Cournotsche Punkt C also die Preis-Absatz-Funktion in zwei gleiche Teile. Der Monopolist maximiert seinen Gewinn, wenn er den halben Prohibitivpreis pH verlangt bzw. die halbe Sättigungsmenge xS anbietet."

Damit ergibt sich doch dies hier, oder:

Gewinnmaximaler Preis: $\begin{eqnarray*} -0,1*50+10 = -5+10 = 5 \end{eqnarray*}$ ???

Stimmt das, oder was muss ich hier machen?? smile

smile

MfG
Austi

Edit:

zu 1b) maximaler Gewinn: x=100 --> P(100/0)

zu1c) Gewinnschwelle (Produktionsmenge, bei der Betrieb von der Verlust- in die Gewinnzone übergeht: K(x)=E(x) x=20 P(20/160)

zu1c) Gewinngrenze: 2. Schnittpunkt von K(x) und E(x) im 1. Quadranten! Übergang von der Gewinn- in die 2. Verlustzone: x=60 P(60/240)

zu 1d) muss ich dort die Stammfunktionen von K(x) und E(x) berechnen?? falls ja, wie macht man dann denn weiter?

zu 1e) weiß ich überhaupt nicht, wie man da ran gehen soll!!

2) Muss ich dort jeweils die Nachfragefunktion und die Angebotsfunktion gleich setzen?? verwirrt

verwirrt

20.02.2005, 23:09

Frooke

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Geht das nicht auch ohne den Cournot'schen Punkt? Nur sehe ich nicht, wie bei PAF ein Extremum auftreten soll... Die Funktion ist ja affin, folglich die Ableitungsfunktion von der Form f'(x)=c... Wie macht man das ohne Cournot?

20.02.2005, 23:17

Austi

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eine gute Frage, Frooke... smile

smile

Wenn die jemand beantworten könnte, würde auch mich das sehr freuen!!

MfG (und gute Nacht)
Austi

21.02.2005, 15:23

Gnu

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Müsst auch funktionieren indem Du schaust wo K'=E' und dieses x dann in die PAF einsetzt.

Wie in: http://de.wikipedia.org/wiki/Cournotscher_Punkt

21.02.2005, 19:12

Austi

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Sooo... also ich habe jetzt die Teilaufgaben a bis c fertig!

zu d)

$\begin{eqnarray*} G(x)=E(x)-K(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G(x)=-0,1x^2+10x-(2x+120) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G(x)=-0,1x^2+8x-120 \end{eqnarray*}$

Stammfunktion der Gewinnfunktion:

$\begin{eqnarray*} Q(x)=-\frac{1}{30}x^3+4x^2-120x \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun den Flächeninhalt der Gewinnlinse ermitteln möchte, erhalte ich Folgendes (Poste mal mit Rechnung):

$\begin{eqnarray*} Q(60)-Q(20)=Q(x)|_{20}^{60}=-\frac{1}{30}x^3+4x^2-120x|_{20}^{60} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-7200+14400-7200-(-266\frac{2}{3}+1600-2400)=1066\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Was meinen denn so die Fachleute?? smile

smile

MfG
Austi

edit:

Zu e:

Sieht der Ansatz diesbezüglich so aus:

$\begin{eqnarray*} V=\pi*\int_{20}^{60}~[G(x)]^2~dx=\pi*\int_{20}^{60}~[-\frac{1}{30}x^3+4x^2-120x]^2~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V=\pi*\int_{20}^{60}~[\frac{1}{900}x^6+16x^4+14400x^2]^2~dx \end{eqnarray*}$
Ich habe jetzt Grenzen eingesetzt und bekomme 787939375,4 heraus – das muss ja falsch sein! Wo liegt wohl der Fehler ??

21.02.2005, 21:06

Gast

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Also ich sehe das eher so:

$\begin{eqnarray*} V=\pi*\int_{20}^{60}~[G(x)]^2~dx=\pi*\int_{20}^{60}~[-0,1x^2+8x-120]^2~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V=\pi*\int_{20}^{60}~0,01x^4+64x^2+14400~dx \end{eqnarray*}$

23.02.2005, 11:58

Austi

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Mahlzeit zusammen!

zu e:

OK und das würde dann $\begin{eqnarray*} \frac{19686400}{3}*\pi=6562133\frac{1}{3}*\pi=20615549,87 \end{eqnarray*}$ ergeben, oder?!

ist mein ergebnis den bei d richtig: $\begin{eqnarray*} 1066\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ??

MfG
Austi

edit: Muss ich bei der 2 Aufgabe jeweils Nachfrage- und Angebotsfunktion gleichsetzen??

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