Fixgerade

01.08.2007, 11:37	Fevi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixgerade Wahrscheinlich geht das ja ganz einfach, aber ich blick einfach nicht durch: Durch die Abbildungsgleichungen ist eine Abbildung definiert. Bestimmen Sie die Fixpunkte und Fixgeraden der Abbildung: x1´= 2 x1 + x2 x2´= x1 Fixpunkt ist klar, aber wie krieg ich die Fixgerade?
01.08.2007, 11:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Eigenvektoren!
01.08.2007, 12:57	Fevi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gehts ohne Eigenvektoren wirklich nicht? Komisch, in dem Buch aus dem das Beispiel ist, kommen die Eigenwerte/Eigenvektoren erst später vor.. Prinzipielle Frage: Kriege ich mit den Eigenvektoren eigentlich nur Fixgeraden durch den Ursprung raus?
01.08.2007, 12:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn dir der Begriff Fixpunkt keine Probleme macht, dann suche doch einfach 2 verschiedene Fixpunkte und bilde die Gerade durch diese beiden Punkte.
01.08.2007, 13:12	Fevi	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibts doch nur einen Fixpunkt oder? Außerdem muss eine Fixgerade ja eigentlich überhaupt keinen Fixpunkt beinhalten oder (is ja nicht gleich eine Fixpunktgerade)?
01.08.2007, 13:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ tmo Betrachte die Achsenspiegelung an der Geraden $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Dann ist jede zu $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ orthogonale Gerade $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ eine Fixgerade. $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ besitzt aber nur einen (!) Fixpunkt.
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01.08.2007, 13:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm stimmt, war ein kleiner denkfehler. hab es wie fevi schon erwähnt hat mit einer fixpunktgerade verwechselt.
01.08.2007, 13:26	Fevi	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage zu einem anderen Beispiel: Gegeben ist die Abbildung $\begin{eqnarray} T(x)=\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \cdot x + \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich krieg eine Fixpunktgerade heraus (y = x - 1/2), aber wie viele Fixgeraden gibt es hier? Die Eigenwerte sind -7 und 1, die zugehörigen Eigenvektoren (-1/1) und (1/1). Aber was fang ich jetz damit an?
01.08.2007, 13:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Fevi Wenn du noch keine Eigenvektoren kennst, dann versuche es direkt. Vielleicht zunächst mit einer Ursprungsgeraden. Diese ist definiert durch eine Steigung $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ (nur die $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ -Achse wird so nicht erfaßt): () $\begin{eqnarray} x_2 = m x_1 \end{eqnarray}$ Nimm nun einen Punkt $\begin{eqnarray} (x_1,x_2) \end{eqnarray}$ dieser Ursprungsgeraden. Seine Koordinaten erfüllen also (). Wenn die Ursprungsgerade Fixgerade ist, dann müssen die Koordinaten des Bildpunktes $\begin{eqnarray} (x_1',x_2') \end{eqnarray}$ ebenfalls () genügen. Mit Hilfe der Abbildungsgleichungen bekommst du nun Forderungen an $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray*}$ .
01.08.2007, 14:24	Fevi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals, das erste Beispiel ist mir damit eigentlich klar. Zurück zu meine früheren Frage: Mit Eigenvektoren kann man nur Fixgeraden durch den Ursprung bestimmen oder? Und vielleicht hat jemand Anregungen zum zweiten Beispiel das ich reingeschrieben hab?

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