Polyeder

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Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
Polyeder
Hallo allerseits!
Da ich in den letzten Wochen zur Rekrutierung musste (Wehrpflicht in der Schweiz :boesesmile und zusätzlich noch an einem Musical mitgespielt habe, habe ich den Anfang eines Kapitels verpasst, und da das ganze französisch ist, blick ich da nicht mehr durch... traurig

Ich muss nun alle theoretischen Polyeder mit 6 Flächen finden, dann bei denen zeigen, weshalb sie entweder möglich oder unmöglich sind... Ich hab leider keinen Plan, wie das gehen soll...

Was ich bisher hab:
1.
E-K+F=2
E=Ecken, K=Kanten, F=Flächen
Da F=6 gilt E+4=K
2.
K+6<=3E, also K+10<=3E, also 5<=E
3.
3E<=2K, also 3E<=2E+8, also E<=8...

Wie mach ich jetzt weiter?


Ausserdem versteh ich folgende Schreibweise nicht:

Kann das jemand erklären traurig

Vielen Dank!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie definiert ist, kann ich dir natürlich nicht sagen (siehe in deinen Unterlagen nach). Aber die Schreibweise heißt einfach:



Vielleicht bedeutet ja die Anzahl der -Ecke des Polyeders. Dann würde diese Gleichung Sinn machen.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Hmm. und was das Obere betrifft, weiss ich nicht, wie ich zeigen kann, dass ein Polyeder nicht möglich ist... Etwa wenn es den euler'schen Satz nicht erfüllt???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was sollst du eigentlich angeben? Die als Polyeder tatsächlich realisierbaren Tripel (F,E,K) mit F=6, oder sogar alle topologisch verschiedenen Polyeder selbst? So gibt es etwa (wenn ich mir das richtig überlegt habe) zwei Polyeder zu (6,6,10): Eins mit und eins mit .

Übrigens: Der Eulersche Polyedersatz ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Realisierbarkeit eines Polyeders.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Der Eulersche Polyedersatz ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Realisierbarkeit eines Polyeders.


Genau darauf wollte ich hinaus: Freude !
Ich soll alle Polyeder, die den Eulerschen Satz erfüllen angeben und anschliessend prüfen, welche tatsächlich existieren!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Aber meine vorherige Frage hast du damit noch nicht beantwortet! unglücklich
 
 
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Jau, sorry... Also:
Ich soll alle Tripel für theoretisch mögliche Polyeder angeben und anschliessend feststellen, welche realisierbar und welche unmöglich sind. Bei den realisierbaren muss ich diese basteln Big Laugh und bei den Unmöglichen angeben, weswegen sie unmöglich sind...

Was meinst Du genau mit

??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Vielleicht bedeutet ja die Anzahl der -Ecke des Polyeders. Dann würde diese Gleichung Sinn machen.

Da bin ich ganz Leopolds Meinung - und diese habe ich auch gemeint. Dann ist übrigens nicht nur

,

sondern auch

.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Leopold
Vielleicht bedeutet ja die Anzahl der -Ecke des Polyeders. Dann würde diese Gleichung Sinn machen.

Da bin ich ganz Leopolds Meinung - und diese habe ich auch gemeint. Dann ist übrigens nicht nur

,

sondern auch

.


Vielen Dank, also meint Ihr Dreiecke, Vierecke usw.??? Da wäre aufschlussreich!

Noch etwas: @ Arthur: Wie komms Du auf die zweite Gleichung?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Wie komms Du auf die zweite Gleichung?


Zählen aller Kanten des Polyeders: Jede k-Eck-Fläche hat genau k Seitenkanten, also ist die Summe aller Kanten aller k-Eck-Seitenflächen des Polyeders, und dann ist die linke Summe die
Summe aller Kanten aller Seitenflächen des Polyeders.

Nun gehört aber jede Polyederkante zu genau zwei Seitenflächen, wird also durch die linke Summe doppelt gezählt - so kommt das 2K rechts zustande.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Autsch! Bingo! Vielen Dank Freude !

Nun hab ich aber immer noch eine Frage Augenzwinkern
Wir haben in der Schule folgende Zahlentripel berechnet, die für 6 Flächen theoretisch gehen...
1. K=9 E=5
2. K=10 E=6
3. K=11 E=7
4. K=12 E=8
(F ist ja jedesmal 6...)
Dabei ergaben sich aber jeweils unterschiedliche k-Ecke pro Tripel, so dass wir am Ende 13 verschiedene theoretische Polyeder erhielten... Nun ist meine Frage: Wie prüfe ich nun ob so eines geht oder nicht?

Danke für die Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche doch erst einmal diejenigen Polyeder zu bestimmen, die sicher gehen. Dann erst gehe an den schwereren Teil.

Ich fange einmal an:




(Arthurs Formel)



(d.h. setze zwei Tetraeder auf einer gemeinsamen Grundfläche aufeinander)

Suche erst einmal unter den bekannten Formen: Prismen, Pyramiden.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Ich versuch auch mal eines... Hammer

Dann wäre per Definition
Also
Nun habe wir noch gekriegt...
Das wäre nun 4, 2 und 0... Leider hab ich jetzt keinen Blassen, wie mich das auf eine Form bringt... Da sollten vier Ecken durch 3 Kanten gebildet werden und zwei Ecken durch 4 Kanten... Aber was gibt das?

Und das ganze sollte ich nun 13 Mal machen... traurig


Hier mal die Liste meiner Zahlen
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.


11.


12.


13.



Mannomannomann... Das gab zu tun Schläfer

Wie komm ich jetzt weiter?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt muss du "nur" noch für jeden Fall

a) konkrete Polyeder angeben, falls es solche gibt

oder

b) nachweisen, dass es diese nicht gibt.

Z.B.:

1.) Ecken 1,2,3,4,5 und Seitenflächen 123, 134, 142, 235, 345, 425 - also das von Leopold erwähnte Doppeltetraeder.

13.) Ist klar nicht realisierbar, denn zwei Fünfecke belegen bereits mindestens 8 Eckpunkte - es sind genau 8, wenn sie eine gemeinsame Kante besitzen. Die Eckpunkte des dritten Fünfecks müssen aus diesen 8 Punkten stammen - das ist unmöglich.

Na dann, viel Spaß noch. Big Laugh
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Den werd ich haben Big Laugh Klo !
Aber ich frag dennoch ma nach ja?
Nr. 2 klappt, sehe ich das richtig?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Nr. 2 klappt, sehe ich das richtig?


Nein! Denn wegen müssen von einer Ecke 5 Kanten ausgehen - das soll diese Notation doch bedeuten, oder? Das sind dann auch 5 Flächen, die an diese Ecke grenzen. Bleibt nur noch eine Fläche, um das Polyeder "unten" abzuschließen - diese ist aber nur ein Dreieck, das klappt also nicht!
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur: Vielen Dank, dass Du Dir die Zeit nimmst, auf all diese Fragen Antwort zu geben, denn es ist ja ziemlich viel und ausserdem raff ich's nicht mal... Echt nett!
Diese E-Notation hast Du richtig interpretiert smile . Aber verflucht. Ich sehe das irgendwie nie... Mannomann. Vielleicht ist auch mein Französisch zu schlecht, um alle Erklärungen des Lehrers zu verstehen... Das hat man halt, wenn man einen fremdsprchigen Kurs besucht... Hammer Aber zum Glück kriege ich hier kompetente Hilfe! Freude

Ich versuche noch einen, den Rest mach ich morgen!

Ich nehme unsystematischerweise Nr. 6:
Nun bin ich fast sicher, dass das geht: Es ist eine Pyramide mit einem Pentagon als Grundfläche... (vielleicht gehts auch anders) aber es existiert... Denn so hat es eine Ecke mit 5 Kanten (oben), dann bei der Grundfläche 5 Ecken mit 3 Kanten. Ebenso 5 Dreiecke und 1 Fünfeck, dazu 10 Kanten, 6 Ecken und 6 Flächen... Hoffe dass der stimmt...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz und knapp zu Nr.6: Freude
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie wäre es mit dieser Dachkonstruktion?


Gehe in den nächsten Tagen mit offenen Augen durch die Landschaft und suche nach Polyedern mit 6 Flächen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre also Nr.8.
Nr.1 und 6 hatten wir schon, und Nr.10 kennt wohl jeder. Augenzwinkern
Da will ich mich auch nicht lumpen lassen und mal Nr.7 beisteuern:
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen mächtigen Dank! Gott
Fassen wir also zusammen: Nr. 1 geht, 2 nicht, 6, 7 und 8 gehen, 10 geht, 13 geht nicht...

Nummer 10 ist ein Würfel, stimmt das verwirrt

Nummer 5 geht von mir aus nicht, denn, wenn es nur 6 Ecken haben soll und ein Fünfeck beinhaltet, dann müsste die sechste Ecke allen auf dem Fünfeck aufgebauten Dreiecken gemeinsam sein. Das wäre dann aber Nummer 6 und verträgt sich nicht mit den anderen Angaben von 5... Ich bin aber unsicher...

Gibt es nicht so eine allgemeine Formel, die hinreichend ist für die Existenz eines Polyeders? Wäre praktisch... Oder stimmts, dass man das mit Probieren machen muss?

Jedenfalls vielen Dank für die Skizzen und Beiträge.. Ohne euch würde ich das NIE schaffen...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nr.10: Würfel, na klar!

Und jetzt ohne Gewähr:

Nr. 3, 12 existieren.

Nr. 4, 5, 9, 11 existieren nicht.

Hoffentlich stimmt's. verwirrt
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja! Die 12 habe ich gefunden! Die 3 allerdings noch nicht... Bei den anderen muss noch gearbeitet werden... Wie sollte aber die 3 gehen? verwirrt

PS: Wie macht man die Zeichnungen, wie Ihr sie gemacht habt? Dann könnt ich mal meinen Vorschlag der 12 posten!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Wie macht man die Zeichnungen, wie Ihr sie gemacht habt?

Also meine "Methode" der Zeichnungen kann ich keinem außer mir zumuten... Irgendein "Malprogramm" sollte es aber auch tun.

Bei Nr.3 würde ich zuerst mal die zwei Vierecke an einer Kante zusammenkleben, der Rest ergibt sich fast zwangsläufig.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich sehs nicht... Mannomann

Aber hier schon mal die 12
AD Auf diesen Beitrag antworten »
Nr.3
Nr.3:
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Genial! Vielen Dank Freude !

Nun bleiben dennoch ein paar Probleme:
Die 4 scheint nicht zu klappen, aber ich weiss nicht weshalb. Genauso die 9 und die 11. Ich sehe zwar irgendwie, dass die nicht gehen, kann es aber nicht vernünftig begründen... verwirrt

EDIT: Ach ja: Stimmt die 12 eigentlich?
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nr.3
Sorry Arthur, aber ich glaube die beiden Dreiecke bilden eine Fläche also ein Viereck...
Ich bau das nachher mal mit GEOmag nach, dafür ist es ja gut...

Edit: jetzt seh ichs, hach Arthur Gott

Jan
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die 12 stimmt. Freude

Und bei 4, 5, 9, 11 musst du eben begründen, dass es nicht geht - so ähnlich wie ich es oben bei 2 und 13 gemacht habe. Soweit ich weiß, gibt es dafür leider kein generelles Konzept. Meistens lohnt es sich, mit den "großen" Flächen anzufangen - also wenn z.B. Fünfecke dabei sind - und dich dann durch logische Schlüsse irgendwie bis zu einem Widerspruch durchkämpfen.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank!!! Damit wärs also so:
1,3,6,7,8,10,12 gehen und die anderen nicht! Besten Dank! Wink !

Ich werde dann noch das Endprodukt dieser Arbeit posten, die «ich» geschrieben habe... Big Laugh Ich meine natürlich, die Du mit vorgerechnet hast... Besten Dank und ein PDF folgt!

EDIT: Mist, ich kann gar kein PDF als Anhang geben... Daran hatte ich nicht gedacht, sorry. Aber dennoch danke für Alles!!!

Reliquitur, tibi gratias agam! Augenzwinkern
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