Rotationskörper, Rauminhalt extremal

19.02.2005, 12:59	amore	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper, Rauminhalt extremal hi, bin gerade fürs abi am lernen und komm bei einer aufgabe nicht voran. folgende aufgabenstellung: es gibt einen punkt p(u/v), o(0/0) und Q (u/o) - dieses dreieck billdet bei der rotation um die x-achse einen kegel. p soll so bestimmt werden, daß der rauminhalt des kegels extremal wird - und man soll untersuchen ob es sich dabei um ein maximum oder minimum handelt. soweit bin ich gekommen. gerade wäre y=v/u * x Kegelinhalt fertig integriert: (pier^2u)/3 bei "extremal" hackts jetzt, wie bestimmt ich p(u/v) das der rauminhalt extremal wird. um zu bestimmt obs maximum oder minimum ist, müsst ichs ja inne 2 ableitung setzen
19.02.2005, 13:11	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Also; Du hast den Punkt $\begin{eqnarray} P(u\|v),O(0\|0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(u\|0) \end{eqnarray}$ meinst Du wohl, nicht $\begin{eqnarray} Q(u\|o) \end{eqnarray}$ . Nun ist der Rauminhalt des Kegels: $\begin{eqnarray} V_{Kegel}=\frac{\pi r^2h}{3} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} h=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r=f(0) \end{eqnarray}$ . Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ findest Du, weil sie affin ist, durch Die Punkte $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ ... Dann einsetzen, ableiten, Nullsetzen, erneut ableiten und nochmals einsetzen, dann bisr Du fertig. Du brauchst nichts zu integrieren... EDIT: NICHT BEACHTEN!!! Sorry, hab was missverstanden... ähm, tja ... Du hasts richtig gemacht, aber wo happerts mit ableiten???
19.02.2005, 13:19	amore	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bestimmt ich das p(u/v) sodass der rauminhalt extremal wird? da happerst bei mir, muss wohl ne blockade haben
19.02.2005, 13:21	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlt bei dieser Aufgabe nicht noch eine Nebenbedingung oder Einschränkung ? So ist doch für beliebiges u <> 0 (ich bitte, die einfache Schreibweise zu entschuldigen): Volumen = 0 für v=0 Volumen = +unendlich für v=+unendlich Volumen = +unendlich für v=-unendlich V=0 ist zumindest ein Extremum !? Ist das gemeint, oder was habe ich falsch verstanden?
19.02.2005, 13:24	amore	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich versteh das net so ganz, ich muss ja am ende nen punkt p(u/v) haben, sodass ich den später auf minimum oder maximum bestimmten kann... aber extremal - keine ahnung - da komm ich einfach net weiter
19.02.2005, 13:46	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter der Annahme, dass die Aufgabestellung so stimmt, wie du geschrieben hast, gilt doch für die erzeugende Gerade $\begin{eqnarray} y=\frac{v}{u}x \end{eqnarray}$ , somit für das Volumen des Kegels $\begin{eqnarray} V=\pi \int_0^u~y^2~dx \end{eqnarray*}$ . In dieses Integral setzt du jetzt die Gleichung für y ein, integrierst, und rechnest das Volumen aus als Funktion von u und v. Und jetzt ermitteltst du durch Extremwertbestimmung, für welches v bei konstantem u das Volumen ein Max. oder Min. wird.
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19.02.2005, 14:54	amore	Auf diesen Beitrag antworten »
wie im 1 post zu sehen, hab ich das schon alles ausgerechnet was du aufgeschrieben hast... nur das mit extremal passt nicht, wenn ich ableitung 1 und 2 bilder mit u als konstante, fliegt u schon bei der 1 ableitung raus und somit liegt weder max noch min vor, was nicht sein darf , da entweder max oder min vorliegen muss - und der punkt p(u/v) als extremal ist auch net vorhanden - also ?!
19.02.2005, 15:32	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
also, wenn ich weiter rechne, erhalte ich: $\begin{eqnarray} V=\pi \int_0^u \frac{v^2}{u^2}x^2~dx=\pi \frac{v^2}{u^2} [\frac{1}{3}x^3]_0^u=\pi \frac{v^2}{u^2} \frac{1}{3}u^3=\frac{\pi}{3}uv^2 \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du die Gleichung für das Volumen zweimal nach v ableiten und feststellen, für welchen Wert von v ein Extremwert vorliegt, und was das für Extremwert ist, je nachdem, ob u positiv oder negativ ist. Damit du vergleichen kannst: $\begin{eqnarray} V'_v=\frac{2\pi}{3}uv \end{eqnarray}$ gleich 0 gesetzt, ergibt v=0 für u<>0. $\begin{eqnarray} V''_v=\frac{2\pi}{3}u \end{eqnarray}$ ist >0 für u>0, ist <0 für u<0. Damit kannst du bestimmen, welche Art von Extremwert vorliegt. Wie geschrieben, die Rechnung gilt nur unter der Annahme, dass die Aufgabestellung so stimmt, wie du geschrieben hast. Eine ähnliche Aufgabe wäre: Die Fläche eines Quadrates ist a^2, für welches a hat die Fläche einen Extremwert?

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