Facharbeit (bitte HILFE)

19.02.2005, 16:05

Psychatix

Facharbeit (bitte HILFE)

Hallo Leute! Ich habe ein dringendes Problem mit meiner Facharbeit:

Der Flächeninhalt einer Ellipse E:= {(x,y)eR²;x²/a²+y²/b² =1} soll mit Hilfe der Substitutionsregel und der partiellen Integration berechnet werden.

Ich versteh es einfach nicht. Ich wär euch sehr dankbar, wenn jemand das hier mal vorrechnen könnte, so dass ich es in meiner Facharbeit verwenden kann. Bin in meinem Zeitmanagement durcheinander gekommen und Montag ist schon der Abgabetermin für die Facharbeit.

Vielen Dank.

LG Moritz

Modedit: Nicht so viele Es bitteeee Augenzwinkern

19.02.2005, 16:11

Frooke

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Vorrechnen und Gesamtlösungen gibts hier nicht unglücklich

!
Aber wenn Du deine Ellipse als Wurzelfunktion darstellst, dürfte das Problem weitgehend gelöst sein.. Löse also mal nach y auf und dann hast Du eine halbe Ellipse, deren Flächeninhalt du am Ende der Rechnung verdoppeln musst... Aber poste doch mal, was Du schon gemacht hast Wink

19.02.2005, 16:36

anne5020

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Hey Moritz!
Du hast also eine Ellipse in erster Hauptlage mit der Form b²x²+a²y²=a²b², der Flächeninhalt müsste laut allgemein erprobter formel a*b*pi sein.
Als erstes musst du y explizit ausdrücken y=f(x)= $\begin{eqnarray*} b/a +/- \sqrt{(a²-x²} \end{eqnarray*}$
Diese Funktion kannst du nun unters Integral schreiben. Um den Flächeninhalt berechnen zu können musst du ein bestimmtes Integral wählen und zwar von -a nach a (mach eine Skizze) und dieses mit 2 multiplizieren.
Zum sSubstituieren gilt: x= a*cost . Wenn du das Integral löst muss $\begin{eqnarray*} 2*a*b*\int_{-a}^{a}~sin²t~dt \end{eqnarray*}$ dastehen. Durch das mittransformieren der Grenzen (du musst a durch den passenden t wert ersetzten, mach am besten eine wertetabelle) wird das integral vereinfacht $\begin{eqnarray*} 2*a*b*\int_{pi}^{0}~sin²t~dt \end{eqnarray*}$ . Das Integral von sin² lässt sich leicht durch partielles Integrieren lösen, du musst nur mehr die Grenzen einsetzen und wenn du dich nicht verrechnest kommt schlussendlich das gewünschte Ergebnis a*b*pi heraus. war doch gar nicht so schwer, oder? Augenzwinkern

19.02.2005, 16:40

Psychatix

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guuuuut , probier ich das mal! vielen dank anne !!!!!! Freude

Bei Fragen meld ich mich ja? Augenzwinkern

04.05.2007, 17:48

justme

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sry muss hier nochma fragen..versteh das nicht so ganz in deinem ersten schritt.wie kommst du darauf das dies die explizite form der gleichung ist?
zunächst ist die gleichung der ellipse doch
y=+/- wurzel b^2-(b^2*x^2)/a^2
wie kommt man jetzt auf die explizite form??

05.05.2007, 08:34

justme

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Kann mir denn keiner helfen hiebei es is wichtig!

05.05.2007, 09:19

tigerbine

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Warum logst Du dich nicht ein? verwirrt

Wir sind nicht für dein Zeitmanagement verantwortlich. Die Hilfe hier wird freiwillig zur Verfügung gestellt.

Hier nochmal die Aufgabenstellung (mita latex):

Der Flächeninhalt einer Ellipse $\begin{eqnarray*} E:= \{(x,y) \in \mathbb R^2~; \frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²} =1\} \end{eqnarray*}$ soll mit Hilfe der Substitutionsregel und der partiellen Integration berechnet werden.

Was weißt Du dann schon über die Ellipse

Zitat:

Wikipedia
Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Ellipse_parameters.png/320px-Ellipse_parameters.png

Zur überprüfung deiner Ergebnisse hat die Anne schon die folgende Formel für den Flächeninhalt genannt:

$\begin{eqnarray*} A=\pi \; a \; b \end{eqnarray*}$

Frooke hat die darauf aufmerksam gemacht, dass man zur Funktionsbestimmung eine Fallunterscheidung machen muss (also halbe Ellipse berechen). Man könnte es sogar auf ein Viertel einschränken. Mit dem Bild dürfte Dir klar sein, warum.

Nun sollst du die Ellipsengleichung umstellen und nach y auflösen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2y^2=a^2b^2-b^2x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2=b^2- \frac{b^2}{a^2}x^2= b^2(1-\frac{x^2}{a^2}) \end{eqnarray*}$

Nun kommt dann der eher "heikle Teil", die richtigen Fallunterscheidungen.

1. In einem kurzen Satz, solltest Du erklären, warum man hier ünerhaupt die Wurzel zeihen darf, denn liest man nur diese Zeile ist:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{x^2}{a^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

nicht umbedingt offensichtlich.

2. Fallunterscheidung beim Wurzelziehen.

$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{b^2- \frac{b^2}{a^2}x^2} \end{eqnarray*}$

Überprüfen wir das mal für den Spezialfall a=b=1

$\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Auch wenn deine Zeit knapp ist, benutze bitte den Formeleditor. Dann kann man viel schneller Antworten und entscheiden, ob das gepostete richtig ist. Fazit:

Ich kann deine explizite Form bestätigen.

15.05.2007, 20:40

justme

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ich hab das hier garnicht gepostet ich hab nur das gleche problem deswegen hab ich nochma nachgefragt smile

soll ich jetzt von der gleichung wo a=b=1 ist, durch die substitutionsregel das integral bestimmen?
Da fängts schon an, ich hab mir die methode in ziemlich vielen büchern angeschaut , versteh es aber trotzdem nicht.hmm...

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