Punktberechnung

19.02.2005, 16:26

beachboy

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Punktberechnung

Hallo,

gegeben:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=\frac{2}{e^{x+t}}+t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ sind die Schaubilder der Schar

a)Skizzieren sie $\begin{eqnarray*} K_{-1} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$

b)Berechnen sie den Punkt $\begin{eqnarray*} P_t \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ , in dem $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ parallel zur 2.Winkelhalbierenden verläuft.

Hallo wie mache ich das?? 2te Winkelhalbierende ist ja y=-x oder? wie bekomme ich aber nun den Punkt wo $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ parallel zur 2ten Winkelhalb. ist?

lg
beach

19.02.2005, 16:33

iammrvip

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a) müssen wir nicht im Forum machen. Oder willst du das Schaubild zum Vergleichen verwirrt

verwirrt

b) Du musst den Punkte finden, wo die Tangente an der Funktion die gleiche Steigung habt, wie die Gerade $\begin{eqnarray*} y = -x \end{eqnarray*}$ .

19.02.2005, 16:49

beachboy

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Steigung is ja -1 oder? d.h. ich muss eine Tangente eines Punktes finden deren Steigung auch -1 ist? Aber wie mach ich das?

Das Schaubild wäre nicht schlecht, bekomme es aber nicht ins Forum ?! irgendein Fehler mit e. unglücklich

unglücklich

lg
beach

19.02.2005, 16:55

iammrvip

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Erstmal würde ich die Funktion noch verschönern (nur die Klammer nicht vergessen!):

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = 2\mathrm e^{-(x + t)} + t^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du die plotten willst, musst du es anders eingeben

$\begin{eqnarray*} \mathrm e^x := {\rm exp}(x) \end{eqnarray*}$

Also z.B.

$\begin{eqnarray*} f_0(x) = 2{\rm exp}(-x) \end{eqnarray*}$

Die Steigung ist -1 Freude

Freude

Was gibt die Steigung an (denke an Differenzialrechnung).

19.02.2005, 17:02

beachboy

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Steigung bekommt man doch mit 1. Ableitung ? Oder was meinst...? Ähm wie kann ich denn in ein plot 2 Funktionen machen ??

19.02.2005, 17:04

iammrvip

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Zitat:

Original von beachboy
Steigung bekommt man doch mit 1. Ableitung ? Oder was meinst...?

Japp, genau. Also musst du

$\begin{eqnarray*} f_t'(x) = -1 \end{eqnarray*}$

nach x auflösen Freude

Freude

.

Zitat:

Ähm wie kann ich denn in ein plot 2 Funktionen machen ??

Einfach ein komma zwischen die Funktionstherme machen:

code:
1:	[plot=-4:5,-5:5]2exp(-x), 2exp(x)[/plot]

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19.02.2005, 17:10

beachboy

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okay danke wie meinst du nach x auflösen? also ich mache erst die Ableitung von f_t(x) oder ? und dann f'(x) = -1 oder wie ? aber dann hab ich ja 2 unbekannte ? x und t oder?

lg
beach

19.02.2005, 17:18

iammrvip

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Die Funktion heißt ja $\begin{eqnarray*} f_t(x) \end{eqnarray*}$ Sie hängt also bloß von x ab. Für t (gibt es eine Einschränkung verwirrt

verwirrt

) setzt man einfach irgendwelche reellen Zahlen ein. Es ist eine sogenannte Konstante.

Du rechnest ganz normal mit x und schleifst das t einfach nur mit Freude

Freude

.

Du brauchst ja den Anstieg der Tangente und diesen Anstieg gibt die 1. Ableitung an. $\begin{eqnarray*} m_t = f_t'(x) \end{eqnarray*}$ Also brauchst du die erstmal. Dieser Anstieg soll nun an irgendeiner Stelle x gleich -1 sein. Somit ist $\begin{eqnarray*} f_t'(x) = -1 \end{eqnarray*}$ . Wenn du das jetzt nach x auflöst, hast du also die Stelle x, wo die Steigung -1 ist.

19.02.2005, 17:29

beachboy

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kann ich nicht einfach Schnittpunkt von y=x mit $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ rechnen ? Dann müsste ich doch auch auf den x-Wert kommen ? Oder gilt der dann nur für $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ ?

lg
beach

19.02.2005, 17:34

iammrvip

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Nein, es soll ja der Anstieg gleich sein, nicht bloß der Schnittpunkt. Außerdem muss es für t allgemein gelten.

19.02.2005, 17:43

beachboy

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is die Ableitung so richtig ?

$\begin{eqnarray*} f(x)=2\cdot e^{-x+t}+t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2e^{-x+t} \end{eqnarray*}$

oder fällt das t^2 nicht weg ?

19.02.2005, 17:47

iammrvip

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Klammer nicht vergessen, sonst ist es falsch!

$\begin{eqnarray*} f(x) &= 2\mathrm e^{-(x+t)}+t^2 \\ f'(x) &= -2\mathrm e^{-(x+t)} \end{eqnarray*}$

19.02.2005, 17:53

beachboy

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$\begin{eqnarray*} -2e^{(-x+t)}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{(-x+t)}=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x+t=ln 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=ln 0,5+t \end{eqnarray*}$

So richtig ??

19.02.2005, 17:57

iammrvip

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Dadurch, dass du die Klammern falsch gesetzt hast, ändert sich nur das Vorzeichen vor dem t. Guck noch mal genau:

$\begin{eqnarray*} f_t'(x) = -2\mathrm e^{-(x+t)} = -1 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} x = \ln 2 - t \end{eqnarray*}$

19.02.2005, 18:14

beachboy

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hm kann ich da nicht am Anfang durch -2 teilen ???

lg
beach

19.02.2005, 18:15

iammrvip

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Doch, hab ich ja. Zeige mal deine Rechnung mit richtigen Klammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.02.2005, 18:23

beachboy

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also

$\begin{eqnarray*} -2e^{-(x+t)}=-1 /:-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-(x+t)}=0,5 /ln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-t=ln 0,5 /+t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x=ln 0,5 +t \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x=-ln 0,5 -t \end{eqnarray*}$

19.02.2005, 18:25

iammrvip

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Alles richtig. Jetzt hab ich noch ein Logarithmengesetz angewandt:

$\begin{eqnarray*} r\cdot \ln x = \ln x^r \end{eqnarray*}$

Verstehst verwirrt

verwirrt

19.02.2005, 18:30

beachboy

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aso okay gut zu wissen smile

smile

stimmt okay dann kommt

$\begin{eqnarray*} x = ln 2- t \end{eqnarray*}$

raus

und das setze ich jetzt in f(x) ein für den y-Wert un dann wars das oder???

lg
beach

19.02.2005, 18:32

iammrvip

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Japp

Freude

. Damit kann man einfach besser rechnen und es schreibt sich auch besser, weißt Big Laugh

Big Laugh

.

19.02.2005, 18:35

beachboy

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$\begin{eqnarray*} y=1+t^2 \end{eqnarray*}$

kann das sein?

19.02.2005, 18:37

iammrvip

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Stimmt

Freude

Also ist unser Pünktchen

$\begin{eqnarray*} P_t\left(\ln 2 - t ~|~ 1 + t^2\right) \end{eqnarray*}$

Big Laugh

Big Laugh

.

19.02.2005, 18:46

beachboy

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sehr gut vieeeeelen Dank smile

smile

jetzt muss ich noch eine Ortskurve der Punkte $\begin{eqnarray*} P_t \end{eqnarray*}$ erstellen.

da muss ich doch $\begin{eqnarray*} x=ln2-t \end{eqnarray*}$ nach t auflösen und dann in y-Wert des Punktes einsetzen und dann hab die die Ortskurve oder???

19.02.2005, 20:39

iammrvip

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Japp, wie wir's gemacht haben Freude

Freude

19.02.2005, 20:56

Frooke

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Die Sache ist zwar jetzt gelaufen und ich misch mich auch nur ungern ein, aber diese «problematische Klammer» lässt sich doch einfach umgehen, indem man anstelle von
$\begin{eqnarray*} e^{-(x+t)} \end{eqnarray*}$ einfach direkt $\begin{eqnarray*} e^{-x-t} \end{eqnarray*}$ hinschreibt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2005, 21:28

iammrvip

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sieht aber hässlich aus unglücklich

unglücklich

... aber wem's gefällt Big Laugh

Big Laugh

20.02.2005, 11:32

Frooke

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Da hast Du allerdings recht Big Laugh

Big Laugh

!!! Aber eben: Wenn die Klammer Probleme bereitet... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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