Extremwertaufgabe: Dreieck mit maximalem Flächeninhalt

19.02.2005, 16:49

oOSecretly_woman_87oO

Extremwertaufgabe: Dreieck mit maximalem Flächeninhalt

Hallo habn hier eine Abiaufgabe aufbekommen und ich weiß da nicht weiter.....

Aufgabe:

Für jedes u (u € R ; 0<u<2 ) wird durch die Punkte A(2 ; 0 ) Bu(u;0) und Cu(u; f(u)) ein Dreieck bestimmt.
Unter diesen Dreiecken existiert genau eins mit maximalen Flächeninhalt.
Ermitteln Sie für dieses Dreieck den Wert u.
(Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des lokalen Maximums kann verzichtet werden.)

Funktion: y= f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{-2*x}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

So nun meine Frage wie funktionobelt das Ganze..ich hab keine Ahnugn wie ich überhaupt anfangen soll.....mit der Haupt- udn Nebenbedingung ect... ich hoffe ihr könnt mir helfen!!!

Danke!!!

19.02.2005, 16:57

iammrvip

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Wie wäre es, wenn du uns auch die Funktion verräts verwirrt

19.02.2005, 17:53

oOSecretly_woman_87oO

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so hab se reinn getan...

19.02.2005, 17:55

brunsi

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RE: Hilfeee!!!extremwertaufgabe!!!
hast du dir schon ne skizze gemacht?

19.02.2005, 18:12

Calvin

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RE: Hilfeee!!!extremwertaufgabe!!!
Hier mal die Funktion. Zeichen dir mal für ein beliebiges u zwischen 0 und 2 das zugehörige Dreieck ein.

19.02.2005, 18:31

oOSecretly_woman_87oO

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naja wo soll ich da denn n dreieck einzeichnen....ich hab ja noch net mal ne ahnugn was davon ne hauptbedingung ist bzw nebenbedingung zielfunktion ect...

und wo zeichne ich die Punkte A B und C ein...aba vorher muss ich aj orgendwie das u berechnen können..

19.02.2005, 18:38

Calvin

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Das u ist erstmal beliebig zwischen 0 und 2 wählbar. Die Punkte A,B,C sind gegeben.

A(2/0)
B(u/0) (liegt auf der x-Achse mit der x-Koordinate u)
C(u/f(u)) (liegt auf der Kurve mit dem x-Wert u). Denke mal darüber nach, warum das so ist.

Jetzt hast du ja ein Dreieck. Das ist sogar rechtwinklig. Jetzt mußt du dir überlegen, wie du den Flächeninhalt ausrechnest. Das u bleibt zunächst mal so stehen. Du bekommst also den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u.

Mal sehen, wie weit du damit kommst smile

Gruß
Tobi, der jetzt leider keine Zeit mehr hat

19.02.2005, 18:43

oOSecretly_woman_87oO

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naja mal schaun hmm naja aba was ist denn da nun de hauptbedingung und was de nebenbedingung...wenn ich diese wusste kam ich eigentl immer dann alleine zurecht aba wusst nie wie ich ie raus bekomme...

20.02.2005, 00:27

Calvin

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So direkt habe ich Haupt- und Nebenbedingung leider nie kennengelernt. Aber wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist die Hauptbedingung der Flächeninhalt des Dreiecks (hier sogar ein Rechtwinkliges!). Die Nebenbedingung gibt an, wie das Verhältnis von zwei bestimmten Dreiecksseiten zueinander ist.

Ich würde dir gerne ein schönes Bild dazu machen. Aber ich habe leider kein passendes Programm dafür unglücklich

Deshalb versuche einfach mal für u=1 das Dreieck einzuzeichen und den Flächeninhalt zu bestimmen. Vielleicht bekommst du auf diesem Wege raus, wie du den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u bestimmst.

Einfach mal ausprobieren und wenn du nicht mehr weiter weißt, einfach hier melden smile

20.02.2005, 01:01

riwe

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so zirka:
$\begin{eqnarray*} 2F=AB*BC=\mid 2-u \mid \cdot f(u) \end{eqnarray*}$
werner

20.02.2005, 01:09

Calvin

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Danke Werner Freude

Mit welchem Programm hast du denn das gemacht?

20.02.2005, 08:56

oOSecretly_woman_87oO

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re
juhuz da hab ich nun aab doch mal eine Frage....
wie kommst du auf diese Formel :

$\begin{eqnarray*} 2F=AB*BC=\mid 2-u \mid \cdot f(u) \end{eqnarray*}$

20.02.2005, 09:01

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na wie lautet denn die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks?

Wenn du das weißt,dann wirst du erkennen,was das AB*BC darstellt in der Gleichung.Schaue dazu auch auf die schöne Skizze

20.02.2005, 10:08

Leopold

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Die Zeichnung von wernerrin beachtet die Bedingung $\begin{eqnarray*} 0<u<2 \end{eqnarray*}$ nicht. Ich habe einmal eine Datei in den Anhang gestellt, mit der man sich den Sachverhalt klarmachen kann. Zum Anschauen der Zeichnung benötigt man Euklid.

Nach dem Öffnen von Euklid die entpackte Zeichnung laden, die Registerkarte Animation wählen und zum Starten auf einen grünen Pfeil klicken.

20.02.2005, 10:31

oOSecretly_woman_87oO

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So nun bin ich etwas durcheinander...weil in der Aufgabenstellung stand, das die Punkte A,B und C EIN Dreicke bestimmen... aber unter der Aufgabe dann dieser Satz: " Unter Diesen Dreiecken existiert genau eines mit maximalen Flächeinhalt"

naja und wo sind die andren Dreiecke??? oder bestimtm u immer einen Punkt von den Dreiecken??

hmm ach menno ich weiß noch net mal wie ich u bestimmen kann... hmpf Forum Kloppe

20.02.2005, 10:45

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also ich erkläre dir mal das mit den Dreiecken: Die Bedingung heißt ja 0<u<2.

Das heißt u kann auch theoretisch 0,4 sein und der zugehörige Wert dann entsprechend was rauskommt.U kann aber auch 1,9 sein.Du kannst mit 0<u<2 beliebige u Werte wählen,die in diesem Bereich sind.
u ist in diesem Fall immer der auf der x-Achse und f(u) der entsprechende Funktionswert.

Du kannst u=1 (+ Funktionswert) wählen.Dann bekommst kannst du das Dreieck durch die gegeben Punkte einzeichnen (weil du ja auch noch den Punkt (2/0) hast).So,diese Dreieck mit u=1 muss aber nicht die größte Fläche haben.Es kann ja sein,dass die Fläche mit u=1,4 größer ist.Und gesucht ist eben dieses Dreieck,das den maximalen Flächeninhalt von all denen hat

20.02.2005, 10:50

oOSecretly_woman_87oO

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$\begin{eqnarray*} 2F=AB*BC=\mid 2-u \mid \cdot f(u) \end{eqnarray*}$ nun gut ich seh immer noch nicht durch...wie soll ich da ne Formel aufstellen...also haben das thema ja erst neu dran gehabt aba nun haben wir eben dazu eine Abituraufgabe bekommen... unglücklich

hmm udn was bedeuete derBetrag von $\begin{eqnarray*} \mid 2-u \mid \end{eqnarray*}$ hmmm wo nimmt irh das denn her... also aba theoretisch wie muss ichd enn anfangen mit den ganzen Formeln?

muss zufällig die Anfangsgleichung $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{-2*x}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$
irgendwie mit eingebunden werden???

20.02.2005, 10:56

oOSecretly_woman_87oO

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hmm alos könnte die Hauptbedingung das sein

$\begin{eqnarray*} 2F=AB*BC=\mid 2-u \mid \cdot f(u) \end{eqnarray*}$

und die Nebenbedingung:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{-2*x}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

?? und wie bringt man das nun in Verbindung mit dem u

20.02.2005, 11:07

oOSecretly_woman_87oO

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soo und wie ist das mit dem Betrag...also ich bin nun soweit das ich Formeln aufstelle...hmm auch wen se bestimtm falsch sind aber der Betrag also
$\begin{eqnarray*} \mid 2-u \mid \end{eqnarray*}$ wird der dann aufgelöst zu 2- u ???

20.02.2005, 11:39

etzwane

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Du musst in diesem Fall in f(x) für das x = u einsetzen, dann erhältst du f(u).

Du musst also den Extremwert ermitteln für

$\begin{eqnarray*} 2F=AB*BC=\mid (2-u) \cdot \frac{-2*u}{(u^2+1)}\mid \end{eqnarray*}$

mit der Nebenbedingung, dass u zwischen 0 und 2 liegt.

Und die Betragsstriche gehören jetzt um das gesamte Produkt, da eine negative Fläche bei dieser nicht so sinnvoll ist.

EDIT: stimmte doch

20.02.2005, 11:57

oOSecretly_woman_87oO

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auflösen
ja soweit war ich auch schon nur das mti dem Betragsstrich versteh ich nicht so wie sieht dann die Gleichung aufgelöst aus...

also so weit bin ich gekommen

$\begin{eqnarray*} A_{(u)}= \mid(2-u)\cdot \frac{-2*u}{(u^2+1)}\mid \end{eqnarray*}$

so und dann habe ich probleme das ganze auszuklammern so das es eine Funktion wird...von der ich dann die Ableitung bilden kann...kann mir da jmd. helfen?

Danke!!

20.02.2005, 12:08

etzwane

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Benutze doch zur Bildung der Ableitung der Gleichung A(u) nach u die Quotientenregel.
Du musst nur aufpassen, dass du dabei das u=Variable_dieser_Aufgabe nicht mit dem u=Zähler_ in_ u/v verwechselst.

Den Zähler würde ich ausmultiplizieren: 2u*(2-u)=.... ,
den Nenner würde ich so stehen lassen zur Bildung der Ableitung.

20.02.2005, 12:13

oOSecretly_woman_87oO

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versteh nicht ganz das mit dem ausmultiplizieren..kannst du das mal genauer hin schreiben??

und wie sieht die Gleichugn aus wenn der Betragsstrich weg ist..das ist de grösste frage Big Laugh

20.02.2005, 12:15

riwe

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Zitat:

Original von Calvin
Danke Werner Freude

Mit welchem Programm hast du denn das gemacht?

mit EUKLID
werner

20.02.2005, 12:15

Leopold

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Ich weise noch einmal hierauf hin. Da kannst du dir erst einmal ganz anschaulich klarmachen, worum es überhaupt geht.

20.02.2005, 12:17

oOSecretly_woman_87oO

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schön Leopold..aber das problem ist ja schon weg...ich möchte nru wissen wie das mit dem Betragsstrich ist und mit dem ausmultiplizieren...das andre hab ich schon Formel..*mitlesen*

20.02.2005, 12:18

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
Die Zeichnung von wernerrin beachtet die Bedingung $\begin{eqnarray*} 0<u<2 \end{eqnarray*}$ nicht. Ich habe einmal eine Datei in den Anhang gestellt, mit der man sich den Sachverhalt klarmachen kann. Zum Anschauen der Zeichnung benötigt man Euklid.

Nach dem Öffnen von Euklid die entpackte Zeichnung laden, die Registerkarte Animation wählen und zum Starten auf einen grünen Pfeil klicken.

ja das habe ich (leider) übersehen
war wohl schon sehr spät
werner

20.02.2005, 12:19

oOSecretly_woman_87oO

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Zitat:

Original von etzwane
Benutze doch zur Bildung der Ableitung der Gleichung A(u) nach u die Quotientenregel.
Du musst nur aufpassen, dass du dabei das u=Variable_dieser_Aufgabe nicht mit dem u=Zähler_ in_ u/v verwechselst.

Den Zähler würde ich ausmultiplizieren: 2u*(2-u)=.... ,
den Nenner würde ich so stehen lassen zur Bildung der Ableitung.

und wie hast d das gemacht mti dem ausmultiplieziren und wie ändert sich die Gleichung mti dem betragsstrich?

20.02.2005, 12:41

etzwane

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Zähler: -2u*(2-u) = -(4u-2u²) = 2u²-4u
Nenner: u²+1
Damit: $\begin{eqnarray*} A(u)=\mid \frac{2u^2-4u}{u^2+1}\mid \end{eqnarray*}$

Hier mal ein Graph der Funktion A(u) ohne Betragsstriche, mit x für u:

20.02.2005, 13:06

riwe

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ich hoffe auf ablass für mein versehen,
graphische lösung mit euklid (zip datei folgt)
werner

20.02.2005, 13:08

riwe

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und die euklid datei
werner

20.02.2005, 13:28

oOSecretly_woman_87oO

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@@@ wernerrin
ähm ist das dein ausgerechneter maximaler Flächeninhal toder nur den der theoretisch so bei der zeichnung rauskam??

20.02.2005, 13:32

oOSecretly_woman_87oO

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$\begin{eqnarray*} A(u)=\mid \frac{2u^2-4u}{u^2+1}\mid \end{eqnarray*}$

und mit dieser Gleichung mus sich dann die ganzen Ableitungen machen kann ich dann den Betragsstrich weglassen wenn ich die Ableitungen mache???

20.02.2005, 14:12

riwe

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RE: @@@ wernerrin

Zitat:

Original von oOSecretly_woman_87oO
ähm ist das dein ausgerechneter maximaler Flächeninhal toder nur den der theoretisch so bei der zeichnung rauskam??

das ist (hoffentlich) die exakte lösung

wegen des betrages ( /.../) lies bitte die beiträge von LEOPOLD!
(beachte, dass hier ja gefordert ist: 0 < u < 2 !)

soweit ich weiß, hat das auf die ableitung keinen einfluß, das vorzeichen spielt ja erst eine rolle, wenn du feststellen willst, ob ein maximum oder minimum vorliegt.
(hoffentlich ist diese formulierung nicht zu "schlampig")

werner

20.02.2005, 14:27

oOSecretly_woman_87oO

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mal die Aufagbe gemacht bitte kontrolliert mal..
oki hier mal wie ich weiter verfolgt bin :

$\begin{eqnarray*} A(u)=\mid \frac{2u^2-4u}{u^2+1}\mid \end{eqnarray*}$

so davon habe ich die 1.Ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{4u^2+4u-4}{(u^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

2. Ableitung:

A´´(u)= -8*u^3-12*u^2+24*u+4 / (x^2+1)^2

so dann hab ich weiter gerechnet mit der 1.Ableitung da ja das maximum gefragt war:

$\begin{eqnarray*} f'(u) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 4*u^2+4*u-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{E1} =0,62 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_{E2} =-1,62 \end{eqnarray*}$

Art der Extrema:
A``(u) = 4,65 > 0 --> lok.minimum
A´´(u) = -0,67 < 0 --> lok.Maximum

so u das jetzt in die Flächinhaltsformel einsetzten:

$\begin{eqnarray*} A(u)=\mid \frac{2u^2-4u}{u^2+1}\mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1 = 0,62 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_2 = -1,62 \end{eqnarray*}$

so und dann würde dann ein Flächeninhalt von
$\begin{eqnarray*} A_{u1} = -1,24 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{u2} = -0,76 \end{eqnarray*}$
hmm aber kann es sein das dort immer noch betragsstriche stehen müssen und das negative dann positiv wird???

naja aba da ebn das Intervall 0<u<2 war , hmm glaueb ich nicht das meine Lösung richtig ist Augenzwinkern

hmm naja ich denk mal eh das die Aufgabe falsch ist von dem her,...sagt mri dann mal bitte wo meien fehler sind!!!!

edit: latex-Code verbessert. Für die Ableitung ' und nicht ´ verwenden! (MSS)

20.02.2005, 15:58

Calvin

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Zitat:

Original von wernerrin

Zitat:

Original von Calvin
Danke Werner Freude

Mit welchem Programm hast du denn das gemacht?

mit EUKLID
werner

Danke. Aber schade, dass ich es trotz Windows-Emulator unter Linux nicht zum laufen gebracht habe. Naja, muß ich eben weitersuchen Augenzwinkern

@oOSecretly_woman_87oO

die Ableitung der Funktion A(u) ist nicht ganz richtig. Zunächst mal heißt die Variable nach wie vor u und nicht n. Und dann hast du wohl noch irgendwo eine Kleinigkeit vergessen.

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{4u^2+4u-4}{(u^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ . Damit ergeben sich natürlich auch andere Nullstellen der Ableitung. Probiere es nochmal aus smile

20.02.2005, 16:08

oOSecretly_woman_87oO

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hmm oki ich hab se nochmal nachgerechnet war bestimtm nur ein abschreibfehler..naja aber trotzdem wo liegt denn mein fehler wo muss ich dann weitermachen??

Sorry hab nun überall u draus gemacht statt n!!

naja und da ich eh keine ahnung von habe wie man so was aufstellt bei extremwertaufgaben war dies nur ein versuch..wo ich doch hoffe das wenn es falsch ist das man mir sagt wo die stelle ist!!!!!

und ich habe nicht da die Nullstellen berechnet sondern die Extrempunkte Augenzwinkern

wir sollen die Extrempunkte immer so angeben $\begin{eqnarray*} X_{E1} \end{eqnarray*}$

20.02.2005, 16:35

Calvin

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RE: mal die Aufagbe gemacht bitte kontrolliert mal..
Da du die Ableitung von A(u) falsch gemacht hast, mußt du an der Stelle auch wieder anfangen. Die zweite Ableitung ist also nicht richtig und die Nullstellen der ersten Ableitung sind auch nicht richtig. Ansonsten war dein Rechenweg aber in Ordnung.

Die erste Ableitung habe ich dir ja schon gemacht. Für alles weitere bist erstmal wieder du dran Augenzwinkern

Zitat:

Original von oOSecretly_woman_87oO
dann noch in die Ausgangsgleichungeinsetzten, um v sozusagen zu bekommen :

$\begin{eqnarray*} v=f(u)= \frac{-2u}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1 = -0,8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2 = 1 \end{eqnarray*}$

Das war nicht notwendig. Es reicht, wenn du das u kennst. Damit läßt sich der Flächeninhalt schon berechnen.

Wie du vorhin schon festgestellt hast, bekommst du zwei u, für die A'(u)=0 gilt. Da in der Aufgabe die Bedingung 0<u<2 gegeben ist, kannst du eines der beiden u schon unter den Tisch fallen lassen. Das interessiert hier nicht mehr Augenzwinkern

Und noch ein Tipp zum Abschluß: deine Flächeninhaltsfunktion heißt A(u). Die Bezeichnung solltest du auch so beibehalten und nicht plötzlich zu f(u) oder f(x) wechseln. Sonst kommt es irgendwann mal zu Verwechslungen.

20.02.2005, 16:38

oOSecretly_woman_87oO

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so Calvin hab sie nochmal oben gerechnet aber irgendwie hmmich weiß nicht ist sie falsch geworden,,,

20.02.2005, 17:26

Calvin

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RE: mal die Aufagbe gemacht bitte kontrolliert mal..
Sieht ziemlich gut aus Freude

Bei der zweiten Ableitung müßte es im Nenner (x^2+1)^3 heißen, aber das ändert nichts am Ergebnis. Lediglich beim Bestimmen der Art der Extrema bekommst du andere Zahlen, die aber das gleiche Vorzeichen haben.

Zitat:

Original von oOSecretly_woman_87oO
so und dann würde dann ein Flächeninhalt von
$\begin{eqnarray*} A_{u1} = -1,24 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{u2} = -0,76 \end{eqnarray*}$
hmm aber kann es sein das dort immer noch betragsstriche stehen müssen und das negative dann positiv wird???

Ich habe die genauen Zahlen jetzt nicht nachgerechnet. Zumindest u1 stimmt. Und das war das wichtigste Augenzwinkern

Du hast richtig erkannt, dass ein Flächeninhalt nicht negativ werden darf. Deshalb werden die Betragsstriche gesetzt, um das Problem zu umgehen.

Zitat:

naja aba da ebn das Intervall 0<u<2 war , hmm glaueb ich nicht das meine Lösung richtig ist Augenzwinkern

Sei ein bißchen selbstbewußter was deine Lösung angeht Augenzwinkern

Du hast u1=0,62 und u2=-1,62 erhalten. Welches der beiden liegt zwischen 0 und 2? Richtig, es ist u1. Es ging hier nur um das u. Nicht um A(u)!

Für u1=0,62 wird der Flächeninhalt extremal. Das heißt er wird maximal oder minimal. Da um die Funktion A(u) Betragsstriche sind, ist $\begin{eqnarray*} A(u)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle u. Gezeichnet sieht die Kurve folgendermaßen aus. Interessant für dich ist der Bereich 0<u<2

Du siehst, dass für u=0,62 ein Maximum vorliegt. Der Flächeninhalt ist hier also maximal. Und wenn du wissen willst, wie groß der Flächeninhalt hier ist, berechnest du A(0,62). Das hast du ja schon gemacht.

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So, hier mache ich mal einen großen Strich, um nochmal zusammenzufassen, was du alles gemacht hast. Ich habe nämlich das Gefühl, dass du das noch nicht verstanden hast.

Es wurde eine Skizze der Funktion gemacht. Dann wurde ein beliebiges Dreieck eingezeichnet, das den Bedingungen in der Aufgabenstellung entsprach. Wie dieses Dreieck genau aussieht, hing von u ab.

Dann wurde die Funktion A(u) aufgestellt, mit der der Flächeninhalt des Dreiecks bestimmt wurde. Auch hier ging es um ein beliebiges Dreieck, das für ein beliebiges (allgemeines) u gezeichnet wurde. Damit der Flächeninhalt positiv wird, wurden die Betragsstriche um die Funktion gesetzt.

Du hast nun eine Funktion gehabt, die dir für jedes beliebige Dreieck aus der Aufgabe den zugehörigen Flächeninhalt gibt. Du mußtest nur noch für u eine beliebige Zahl zwischen 0 und 2 einsetzen und ausrechnen.

Nun war aber laut Aufgabenstellung genau das u gesucht, für das der Flächeninhalt maximal wird. In anderen Worten heißt das, dass das Maximum von A(u) gesucht wurde. Und das hast du heute in den letzten zwei Postings erfolgreich gemacht.

Zuletzt hast du für das gefundene u1 den zugehörigen Flächeninhalt ausgerechnet, indem du A(u1) ausgerechnet hast.

So, ich hoffe, das war verständlich ausgedrückt smile

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Extremwertaufgabe: Dreieck mit maximalem Flächeninhalt

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