Komplexe Lösungen eines Polynoms

02.08.2007, 08:17

nitric

Komplexe Lösungen eines Polynoms

Hallo,

wiederhole gerade noch mal die Eigenwerte und bin da auf ein paar charakteristische Polynome gestoßen, die Komplexe Lösungen haben. - Was ist da die Vorgehensweise? Ich scheine da wohl irgendwann einmal etwas verpasst zu haben... verwirrt

$\begin{eqnarray*} \text{Beispiel: }-\lambda^3 + \lambda^2 - 2\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Ergibt die Lösungen: } \lambda_1 = 0 \quad \lambda_{2/3} = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2} \end{eqnarray*}$

Beste Grüße - nitric

02.08.2007, 08:35

Airblader

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Du setzt dein Polynom gleich 0, kannst dann erstmal ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausklammern. Da ein Produkt 0 wird, wenn ein Faktor 0 ist, folgt daraus $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Den anderen Faktor setzt du nun auch 0 und kannst z.B. Mitternachtsformel anwenden smile

air

02.08.2007, 09:45

kommando_pimperlepim

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Ganz allgemein gilt Im Fall von komplexen Nullstellen, dass du zwar nicht mehr wie bei rellen Nullstellen eine Faktorzerlegung der Form
$\begin{eqnarray*} (x-a)\cdot(x-b)... \end{eqnarray*}$
erreichst, aber auch eine Produktform möglich ist, bei der einige Faktoren der Form
$\begin{eqnarray*} (x^2 +px+q) \end{eqnarray*}$
auftreten, die nicht weiter zerlegbar sind. Die kannst du dann wie Airblader sagte über
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Also in deinem Beispiel ist die Produktform

$\begin{eqnarray*} -\lambda^3 +\lambda^2 -2\lambda=-\lambda(\lambda^2-\lambda+2)=-(\lambda-0)(\lambda^2-\lambda+2) \end{eqnarray*}$

Wegen der quadratischen Terme treten die komplexen Nullstellen auch immer paarweise konjugiertkomplex auf.

02.08.2007, 10:09

nitric

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Ah,

OK! Ich wusste nicht, dass man das Ergebnis der PQ-/abc-Formel auch Komplex interpretieren darf, also nochmal fürs Protokoll:

$\begin{eqnarray*} \text{Ausdruck in Produktform: } \lambda \left( -\lambda^2 + \lambda -2 \right) \; \text{- Hier sieht man, dass $\lambda_1=0$ eine Nullstelle ist.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Alle anderen Nullstellen ergeben sich, wenn: $ -\lambda^2 + \lambda -2 = 0$ gilt.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{PQ-Formel: } \lambda_{2/3} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \right)} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{7}}{2} = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2} \end{eqnarray*}$

Super! Vielen, vielen Dank! smile

02.08.2007, 10:34

kiste

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Beachte das $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ ein "böser" Ausdruck ist. Würde das existieren würde gelten:
$\begin{eqnarray*} 1 = \sqrt 1 = \sqrt{-1\cdot -1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i^2 = -1 \end{eqnarray*}$

02.08.2007, 10:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von nitric
OK! Ich wusste nicht, dass man das Ergebnis der PQ-/abc-Formel auch Komplex interpretieren darf

Das kommt davon, wenn man einfach nur stur die Formeln lernt, anstatt sich zu fragen, warum die gelten.

02.08.2007, 11:19

nitric

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Zitat:

Das kommt davon, wenn man einfach nur stur die Formeln lernt, anstatt sich zu fragen, warum die gelten.

Aha, es gibt also eine Herleitung im Komplexen?! - Ist mir nie unter gekommen, ich habe als Nichtmathematiker leider viele andere Probleme. Wir behandeln nur sehr wenige ausgewählte Herleitungen. - Es ist ein Erkenntnistheoretisches Problem, dass ich nicht alles weiß.

Moment, die Erkenntnistheorie hat aber nichts mit Mathematik zu tun:

Provokation ist keine Art und Weise sich darzustellen bzw. mit anderen Menschen zu diskutieren. Du bist wahrscheinlich krank, such dir besser hilfe sonst findest du keinen anderen Lebensinhalt mehr, als dir über solch unsoziale Mittel und Wege zu beweisen das du etwas wert bist. - Oder anders ausgedrückt: Muss man denn wirklich in einem Matheforum den Troll spielen? -

02.08.2007, 21:59

Calvin

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Könnt ihr diese Diskussion bitte in einem eigenen Thread fortführen. Mit der eigentlichen Fragestellung hat das ja nichts mehr zu tun.

Vielen Dank smile

02.08.2007, 22:03

tigerbine

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