Exponentiale Gleichung/Logarithmus

19.02.2005, 18:35

Yeti

Exponentiale Gleichung/Logarithmus

Habe hier eine Aufgabe, mit der ich gar nix anfangen kann..

Eine Bakterienkulur verdreifacht sich alle fünf Wochen. Nach wie vielen Tagen hat sie sich verdoppelt? Vor wie vielen Tagen war sie halb so groß?

Okay, also ich fange wie folgt an:

Bakterien = a
wächst um 3= *3
alle 4 Tage = ^4
=> f(x)=a*3^4

Jetzt ist gefragt, wann(t) sie sich verdoppelt(*2) hat.
Also f(x)=2a*3^t

Ist das soweit richtig? Wie komme ich da jetzt weiter? Muss ich den zweiten Ansatz nach t umformen und habe, oder beide gleichsetzen?

Und noch was:

ist log a B dasselbe, wie A*log B ??

Bei ersterem meint das kleine a eben den kleinen Buchstaben, der immer etwas unter dem "log" steht, nur so zum besseren Verständnis Augenzwinkern

Danke im voraus für eure Tipps.

19.02.2005, 20:26

etzwane

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RE: Exponentiale Gleichung/Logarithmus

Zitat:

Original von Yeti
Habe hier eine Aufgabe, mit der ich gar nix anfangen kann..

Eine Bakterienkulur verdreifacht sich alle fünf Wochen. Nach wie vielen Tagen hat sie sich verdoppelt? Vor wie vielen Tagen war sie halb so groß?

Dein Ansatz ist nicht ganz richtig, nimm besser einen der folgenden Ansätze.

Ansatz: N(t)=N(0)*a^t mit N(t)=Anzahl nach t Tagen
Daraus: 3*N(0)=N(0)*a^(5*7), daraus a.

Es geht auch mit dem Ansatz:
N(t)=N(0)*e^(k*t), daraus 3*N(0)=N(0)*e^(k*5*7), daraus k.

Welche Beziehung besteht zwischen k und a ?

Und nach wieviel Tagen sich die Anzahl verdoppelt hat, solltest du jetzt selbst herausfinden können.

19.02.2005, 21:10

Yeti

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Hi etzwane, erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Ich steige nicht so ganz duch deine Ansätze durch, dass N(0) bzw. N(t) irritiert mich etwas, was genau ist "N"???

Zitat:

Daraus: 3*N(0)=N(0)*a^(5*7), daraus a.

Wofür genau brauche ich das? Warum soll ich a errechnen?
Ich dachte an dieser Stelle müsste ich 2a o.ä. einsetzen, da a sich ja verdoppelt.

Zum zweiten Ansatz: Was genau ist "k"?

Sorry, ist für mich irgendwie nicht ganz so durchsichtig Augenzwinkern

19.02.2005, 21:33

etzwane

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N ist einfach eine fiktive Menge, Anzahl, Fläche usw., damit lassen sich solche Ansätze wesentlich leichter formulieren.Ob du dies N nennst, oder a oder noch anders, ist egal, ich habe das nun mal N genannt.

In diesem Fall ist N(0) die (hier nicht bekannte) Anzahl der Bakterien zu einem beliebigen Zeitpunkt t=0, und N(t) die Anzahl der Bakterien zu einem Zeitpunkt t Tage später (bzw. bei negativem t: t Tage früher).

k ist ein Proportionalitätsfaktor, den du brauchst, wenn du den Ansatz mit der e-Funktion machst.

Rechne einfach mal beide Ansätze durch, das N(0) kürzt sich ja sowieso weg, und es bleiben 3 oder 2 oder 1/2 stehen.

20.02.2005, 09:48

Yeti

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Also ich habe deine beiden Ansätze nochmal für mich besser verständlich (ohne das "n" Augenzwinkern

) umgeschrieben;

1. Ansatz: t=a^t
daraus: 3a=a^5*7

2. Ansatz: t=a*e^k*t
daraus: 3a=a*e^k*5*7

Aber ich weiss immer noch nicht, was ich damit errechnen soll!
Warum nicht:

2a=a*3^t

und dann nach t auflösen? Das müsste dann doch die Anzahl der Tage sein, in der sich a verdoppelt hat, oder nicht!?

20.02.2005, 11:10

etzwane

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Zitat:

1. Ansatz: t=a^t
daraus: 3a=a^5*7

Die 1. Zeile ist für mich unverständlich
Die 2. Zeile muss heißen: 3=a^5*7

Zitat:

2. Ansatz: t=a*e^k*t
daraus: 3a=a*e^k*5*7

Die 1. Zeile ist hier auch nicht richtig, irgendwie vertauscht/verwechselt/vermischt du die Variablen
Die 2. Zeile ist richtig.

Aus den 2. Zeilen kannst du jetzt durch Logarithmieren das a bzw. das k errechnen.

Damit findest du die Anzahl der Tage t bis zur Verdoppelung aus 2=a^t bzw. 2=e^k*t,
der Ansatz

Zitat:

2a=a*3^t

ist falsch.

Du soltest noch einmal über das Problem nachdenken, vor allem darüber, wofür die von dir benutzten Variablen stehen und was sie bedeuten.

20.02.2005, 11:19

Yeti

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Nun, das a steht für die Menge der Bakterien am Anfang/Ausgangspunkt. t ist die Zeit, in der sie sich vermehren.

Ich verstehe immer noch nicht, warum ich a oder k ausrechnen sollte, ich suche doch t, die Zeit, in der sich die Bakterien verdoppeln.

20.02.2005, 11:57

etzwane

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Hilfe:
Vielleicht kann jemand anders das besser erklären als ich.

20.02.2005, 18:57

Yeti

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Hm ja, könnte wirklich noch etwas Hilfe gebrauchen. Den Ansatz habe ich ja jetzt, auch wenn ich mir nicht wirklich sicher bin, wie er begründet ist, aber dazu vielleicht zu einem späteren Punkt mehr.

Jetzt würde ich gerne einfach die Aufgabe rechnen. Nur weiss ich nicht, wie unglücklich

22.02.2005, 17:46

Yeti

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Hm also, ich habe es jetzt nochmal probiert:

2*N(0)=N(0)*3^t
2=3^t
lg2=t*lg3
lg2 : lg3=t
t= 4,42 Tage

Richtig? verwirrt

Außerdem habe ich hier noch eine Frage:
Eine exponentiell wachsende Bakterienkultur hat um 10 Uhr eine Masse von 2mg und um 12 Uhr eine Masse von 6 mg. Wie groß ist die Masse um 15:00 Uhr?

Ich komme hier nicht so recht auf den Ansatz.
Also sie verdreifacht sich alle 2 Stunden.

Ich dachte an irgendwie sowas:

B(anfang)*3^5=B(12Uhr)*3^2
Also:
B(anfg.)*3^5=6*3^2

Anderseits ist ja..
2*3^2=6
..,wie der Text sagt. Kann dann die obere Gleichung stimmen? Wenn nicht, in welche Richtung muss ich dann denken?

22.02.2005, 19:17

etzwane

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Zitat:

Original von Yeti
Hm also, ich habe es jetzt nochmal probiert:

2*N(0)=N(0)*3^t

Erstens: Wie kommst du hier auf die 3 ???

Zweitens: Wie kommst du auf 4,42 wenn du lg2 durch lg3 teilst ???

Dann überleg doch mal:
Eine Bakterienkultur verdreifacht sich in 5 Wochen oder 35 Tagen, wie kann sie sich dann in nur 4,42 Tagen verdoppeln?

22.02.2005, 21:26

Yeti

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OKay, also auf die 3 komme ich, weil die Bakterienkultur sich ja

Zitat:

verdreifacht

..

Die 4,42 waren ein ärgerlicher Tippfehler. Habe nochmal geschaut und mein TR sagt 0,631 was mir alerdings als noch unwahrscheinlicher erscheint. unglücklich

Wie schauts mit der 2. Aufgabe aus?

22.02.2005, 23:28

etzwane

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RE: Exponentiale Gleichung/Logarithmus

Zitat:

Original von Yeti
Eine Bakterienkulur verdreifacht sich alle fünf Wochen. Nach wie vielen Tagen hat sie sich verdoppelt? Vor wie vielen Tagen war sie halb so groß?

Da du diese Aufgabe immer noch nicht verstanden hast und deine Lösung immer noch falsch ist trotz aller Hinweise, hier einmal komplette Rechnung:

Ansatz: $\begin{eqnarray*} N_t=N_0*a^t \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ = Menge zum Zeitpunkt 0, nicht genau bekannt
und $\begin{eqnarray*} N_t \end{eqnarray*}$ = Menge nach t Tagen
und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ = Zeit in Tagen
und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ = zu bestimmen.

Eingesetzt $\begin{eqnarray*} N_t=3*N_0 \end{eqnarray*}$ nach t = 5 Wochen = 35 Tage ergibt
$\begin{eqnarray*} 3*N_0=N_0*a^{35} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=a^{35} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=3^{\frac{1}{35}}=1,0319 \end{eqnarray*}$ angenähert

Damit: $\begin{eqnarray*} N_t=N_0*3^{\frac{t}{35}} \end{eqnarray*}$

Vergleiche jetzt diese Rechnung mit deiner, erkennst du, was du falsch gemacht hast ?

Frage: Nach wie vielen Tagen hat sie sich verdoppelt?
Jetzt ist $\begin{eqnarray*} N_t=2*N_0 \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} 2*N_0=N_0*3^{\frac{t}{35}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=3^{\frac{t}{35}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \log 2=\frac{t}{35}*\log 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=35*\frac{\log 2}{\log 3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=22,08.. \end{eqnarray*}$

Also, nach 22,1 Tagen hat sich die Anzahl der Bakterien verdoppelt.

Jetzt meine Frage an dich (ohne zu Rechnen): Vor wie vielen Tagen war sie halb so groß?

Versuch jetzt die neue Aufgabe auf die gleiche Weise durchzurechnen, oder mach (wegen "exponentiell" in der Aufgabenstellung) diesmal den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} M_t=M_0*e^{k\cdot t} \end{eqnarray*}$

mit M=Masse, t=Zeit in Stunden, k=zu bestimmender Faktor.

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