Erwartungswerte

19.02.2005, 19:28

accolon

Erwartungswerte

Hallo, ich habe grade den Erwartungswert kennengelernt und weiß, wie man ihn allgemein für diskrete Verteilungen berechnen kann:

$\begin{eqnarray*} EX = \sum_{k=0}^\infty x_i p_i \end{eqnarray*}$

In einer aktuellen Übung soll ich jetzt mehrere Erwartungswerte ausrechnen, und zwar für die Poission-Verteilung.

Die ist definiert durch $\begin{eqnarray*} P_\lambda (n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ .

Ich hab das für EX geschafft, da ist es $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Allerdings soll ich es u.a. auch noch für EX³ und $\begin{eqnarray*} E2^X \end{eqnarray*}$ berechnen, komme da aber überhaupt nicht weiter mit den Summen.

Kann mir jemand zeigen, wie das geht? verwirrt

19.02.2005, 20:16

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswerte
Allgemein ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~g(X)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} g(n)\cdot P_{\lambda}(n)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} g(n)\cdot\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Und jetzt konkret:

1.) $\begin{eqnarray*} g(x)=2^x \end{eqnarray*}$ : Dann hilft dir vielleicht folgende leichte Umformung

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}2^X = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n\cdot\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}= e^{-\lambda}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(2\lambda)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ : Berechne $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X(X-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X(X-1)(X-2) \end{eqnarray*}$ , dann kannst du $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X^3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination dieser drei Grenzwerte bestimmen.

20.02.2005, 16:12

accolon

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswerte
Hallo, danke für deine Antwort. smile

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}2^X = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n\cdot\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}= e^{-\lambda}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(2\lambda)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

So weit war ich schon, aber egal was ich mit der Summe anstelle, bekomme ich sie nicht weg. Bei der Berechnung von EX konnte ich durch einfache Umformungen zwei Mal in der Summe kürzen und sie dadurch so umformen, dass ich am Ende $\begin{eqnarray*} e^{\lambda} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} \end{eqnarray*}$ hatte, was sich dann mit $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ weghebt, Lambda bleibt übrig.

Sowas versuche ich hier auch, aber die Summe bleibt. unglücklich

Zitat:

Original von Arthur Dent
2.) $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ : Berechne $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X(X-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X(X-1)(X-2) \end{eqnarray*}$ , dann kannst du $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X^3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination dieser drei Grenzwerte bestimmen.

Ist das dann $\begin{eqnarray*} \lambda + \lambda^2 + \lambda^3 \end{eqnarray*}$ ?

20.02.2005, 18:02

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswerte

Zitat:

Original von accolon
So weit war ich schon, aber egal was ich mit der Summe anstelle, bekomme ich sie nicht weg.

Wie wäre es denn mit
$\begin{eqnarray*} e^x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$
wenn man $\begin{eqnarray*} x=2\lambda \end{eqnarray*}$ einsetzt. Augenzwinkern

Zum zweiten Punkt: Richtig ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X=\lambda \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X(X-1)=\lambda^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X(X-1)(X-2)=\lambda^3 \end{eqnarray*}$ .
Aber du musst diese drei Werte natürlich so linear kombinieren
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X^3=a\lambda+b\lambda^2+c\lambda^3 \end{eqnarray*}$ ,
dass
$\begin{eqnarray*} X^3\stackrel{!}{=}aX+bX(X-1)+cX(X-1)(X-2) \end{eqnarray*}$
gilt!!! Also Koeffizientenvergleich durchführen.

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswerte

Verwandte Themen