Lineares Gleichungssystem aufstellen

19.02.2005, 19:32

SkYfiGhTeR

Lineares Gleichungssystem aufstellen

Hallo!

Ich sitze gerade vor folgendem Problem:

"Kann man aus Hartblei (91% Blei, 9% Antimon) und Lötzinn (97% Zinn, 3% Antimon) Lettermetall mit 80% Blei, 15% Zinn und 5% Antimon herstellen?"

So...das Ganze soll dann mit solch einem Gleichungssystem bzw. einer Matrix gelöst/gezeigt werden.

Nur irgendwie bekomme ich es gerade einfach nicht hin, hierfür diese Matrix richtig aufzustellen?!

Ich war mal bei:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 91B & 0B & 80B \\ 0Z & 97Z & 15Z \\ 9A & 3A & 5A \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und hinten als vierte Spalte sozusagen jeweils noch das "Ergebnis" die 100.
Nur irgendwie kommt das nicht so ganz hin oder vll. stimmt auch die Ausgangsüberlegung gar nicht, die dann zu dem Gleichungssystem geführt hat.

Kann mir da vielleicht jemand (weiter-)helfen. Das Ganze müsste irgendwie gar nicht schwer oder kompliziert zu lösen bzw. aufzustellen sein....nur komme ich gerade nicht drauf wie.

Danke im Voraus!

19.02.2005, 20:42

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RE: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Ich könnte ja jetzt alles verraten, aber du sollst ja auch was lernen. "Raten" hilft beim Aufstellen des Gleichungssystems wenig, du musst dir das schon aus den Fakten ableiten. Als erstes:

Welche Werte müssen überhaupt hier bestimmt werden, wieviele sind das überhaupt?

Nun, es sind die Mischungsanteile von Hartblei (sagen wir $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ) und Lötzinn ( $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ), deren Mischung letztendlich dann Lettermetall ergeben soll. Also hast du nur zwei zu bestimmende Variablen, und damit ist ein 3x3-System wie oben schon mal völiig abwegig.

Also überleg dir mal, wie eine Matrix A und eine rechte Seite b von

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A}\cdot\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \mathbf{b} \end{eqnarray*}$

aussehen müssten, um die Angaben der Aufgabe umzusetzen!

19.02.2005, 21:42

etzwane

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RE: Lineares Gleichungssystem aufstellen

Zitat:

"Kann man aus Hartblei (91% Blei, 9% Antimon) und Lötzinn (97% Zinn, 3% Antimon) Lettermetall mit 80% Blei, 15% Zinn und 5% Antimon herstellen?"

Meine Ergebnis ist: Nein.
Ich würde mich freuen, wenn später jemand die Rechnung mittels der Matrizenmethode reinstellen könnte.

20.02.2005, 11:18

SkYfiGhTeR

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Hallo,

irgendwie verstehe ich die Schreibweise bzw. wie ich jetzt vorgehen soll noch nicht wirklich.

Die Matrix von mir oben war ja auch nicht geraten, die bezog sich darauf:

x*HB + y*LZ = LM

91%B + 9%A= 100%HB
97%Z + 3%A = 100%LZ
80%B + 15%Z + 5%A = 100%LM

Aber so scheint das dann ja nicht zu funktionieren.

Bei deiner Gleichung entspricht das b ja dann unserem Lettermetall (80%B+15%Z+5%A).

Und nun brauche ich für A eine Matrix die mir zwei Ergebnisse bzw. Faktoren gibt, eine dann multipliziert mit Hartblei (x1) und die andere mit Lötzinn (x2).

Nur welche Werte soll ich da nun für diese Matrix nehmen?
Mehr als ich es oben aufgestellt habe, habe ich doch eigentlich nicht oder?

Edit:

Also ich weiß nicht, ich komme auf so eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 91 & 0 & | 80 \\ 0 & 97 & | 15 \\ 9 & 3 & | 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.02.2005, 11:50

etzwane

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
x*HB + y*LZ = LM

91%B + 9%A= 100%HB
97%Z + 3%A = 100%LZ

80%B + 15%Z + 5%A = 100%LM

So hatte ich auch gerechnet:
Und wieviel Anteile haben jetzt x*HB und y*LZ ?
Und wieviel beide zusammen ?
Wieviel x braucht man für 80%B ?
Wieviel y braucht man für 15%Z ?
Was ergibt sich dann für die Anteile A ?
Wie berücksichtig man, dass die Mischung mehr als 100% Anteile hat ?

Und das alles würde ich jetzt auch gerne in Matrizenschreibweise sehen.

20.02.2005, 11:58

SkYfiGhTeR

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Hi,

also die Matrizenschreibweise ist meiner Meinung nach die von meinem letzten Posting und daraus ergibt sich dann:

Blei: $\begin{eqnarray*} x_{1}*0,91 + x_{2}*0 = 0,8 \end{eqnarray*}$

Lötzinn: $\begin{eqnarray*} x_{1}*0 + x_{2}*0,97 = 0,15 \end{eqnarray*}$

Antimon: $\begin{eqnarray*} x_{1}*0,09 + x_{2}*0,03 = 0,05 \end{eqnarray*}$

So und da haben wir ja ein überbestimmtes Gleichungssystem dann, bzw. auch schon vorher und dann kommt, egal welche Gleichung man dann zuerst mal außen vor lässt immer ein ungleiches Ergebnis bei der Probe raus.

Also z.B. nehmen wir mal Blei und Lötzinn, dann ergibt sich für $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ =0,87912 und für $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ =0,15464.

Das dann in die Antimon-Gleichung und dann kommt 0,084=0,05 was ja nicht korrekt ist, und daher die Antwort auf die Aufgabe: Nein.

Ist das so nun korrekt?

20.02.2005, 12:04

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Genau so ist es. Freude

Überdies gibt es da noch die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2=1 \end{eqnarray*}$ (beide Mischungsanteile ergeben zusammen 100%), die dann als zusätzliche Bedingung das ganze erst recht unlösbar macht.

20.02.2005, 14:15

SkYfiGhTeR

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Hi,

jep alles klar. Danke für die Hilfe!

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Habe nun leider ein weiteres Problem *g*:

"Zur Zubereitung eines Fruchtsaftgetränks werden drei Grundsorten A, B, C benötigt. Der Fruchtanteil von A betrage 30%, der von B 40%, der von C 60%. Durch Mirschung soll 1 Liter Fruchtsaft entstehen, dessen Fruchtanteil 50% betrage.

a) Gib Anteile von A, B, C bei einer möglichen Mischung an.
b) Wieviel muss von der Sorte C mindestens und wieviel kann höchstens egnommen werden, wenn alle drei Sorten an der Mirschung beteilt sein sollen?"

So, nun habe ich aus den Gegebenheiten mal das hier aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} x*0,3 + y*0,4 + z*0,6 = 0,5 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x + y + z = 1 \end{eqnarray*}$

So, das in Matrixschreibweise ergibt dann ja etwas in Abhängigkeit von z.B. mal z, da es ja ein unterbestimmtes Gleichungssystem ist und ich eine Variable dann auf die andere Seite bringe.

Da steht bei mir dann am Ende:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 &| & -1 & 2 \\ 0 & 1 &| & 2 & -3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das wäre dann für:

$\begin{eqnarray*} x= -1 + 2z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= 2 - 3z \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das aber in eine der beiden Gleichungen einsetze bekomme ich 0=0 raus.

Als eine dritte Gleichung hatte ich mir zwar auch nochmal überlegt, dass jeweils die Differenz der Fruchtsaftanteile der einzelnen Stoffe zu 100% dann Wasser wäre und dann mal die beiden Gleichungen per Matrix aufgelöst - jedoch gleiches Ergebnis 0=0. unglücklich

Wie muss ich hier denn nun (weiter) vorgehen?

20.02.2005, 14:42

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
$\begin{eqnarray*} x= -1 + 2z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= 2 - 3z \end{eqnarray*}$

Alles richtig, aber eins hast du noch gar nicht berücksichtigt: $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ unterliegen einer weiteren Einschränkung
$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

20.02.2005, 15:05

SkYfiGhTeR

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Hi,

achso alles klar.

Damit wäre Aufgabe a) dann gelöst, wenn ich z.B. x oder y bzw. dann Grundstoff A bzw. B weglasse und dann bekomme ich am Ende eine 50% Mischung.

Aber auf Aufgabe kann ich die Einschränkung von dir doch so nicht benutzen oder?

Z dürfte doch gar nicht 1 werden oder? Wenn z=1 ist, dann müssen x und y null sein und dann hätte ich aber nur von dem 60%igen und da komme ich ja dann niemals auf die verlangten 50%?!

Und da es ja nun um die Menge wieviel mindestens und wieviel höchstens von C (z) genommen werden darf, aber alle deri Grundstoffe müssen benutzt werden, klappt das ja so nicht oder sehe ich da jetzt was falsch bzw. nicht? *g*

20.02.2005, 15:16

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Ich meinte das eigentlich so:

$\begin{eqnarray*} 0\stackrel{!}{\leq}x=-1+2z \quad\Rightarrow\quad z\geq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\stackrel{!}{\geq}x=-1+2z \quad\Rightarrow\quad z\leq 1\qquad \end{eqnarray*}$ (Ok, ist eine obsolete bedingung.)

$\begin{eqnarray*} 0\stackrel{!}{\leq}y=2-3z \quad\Rightarrow\quad z\leq\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\stackrel{!}{\geq}y=2-3z \quad\Rightarrow\quad z\geq\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Und jetzt den Durchschnitt aller vier Bedingungen inklusive noch $\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq 1 \end{eqnarray*}$ nehmen, und das ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\leq z\leq\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

20.02.2005, 15:58

SkYfiGhTeR

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Hi,

mhm ok, jetzt ist mir das klarer. Alles klar, vielen Dank! smile

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