Schwerpunkte, 3 Punkte auf Gerade

19.02.2005, 20:30

aRo

Schwerpunkte, 3 Punkte auf Gerade

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe:
A(1|0) B(7|1) C(6|5) D(2|4)

Ich soll nun die Schwerpunkte $\begin{eqnarray*} S_{ABCD} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} S_{ABD} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} S_{BCD} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

$\begin{eqnarray*} S_{BCD} \end{eqnarray*}$ habe ich bestimmt:
$\begin{eqnarray*} \vec{S_{BCD}} = \frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}) \end{eqnarray*}$

Also Punkt bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 15 \\ 10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{ABD}: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{S_{ABD}} = \frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}) \end{eqnarray*}$

Also Punkt bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 10 \\ 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So weit ist es doch eingermaßen richtig, oder?

Aber hier bei diesem Schwerpunkt fängts an:
$\begin{eqnarray*} S_{ABCD} \end{eqnarray*}$ Wie kann ich denn da überhaupt den Schwerpunkt bestimmen?

19.02.2005, 21:09

kikira

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RE: Schwerpunkte, 3 Punkte auf Gerade
Ich würd mal untersuchen, ob das ein spezielles Viereck ist.

lg kiki

19.02.2005, 22:48

riwe

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RE: Schwerpunkte, 3 Punkte auf Gerade
genauso - glaube ich - also "sinngemäß", lt def. für die x-koordinate des schwerpunktes( mit massenbelegung 1):

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\sum_{k=1}^n~x_k}{ \sum_{k=1}^n~k } \end{eqnarray*}$
beim dreieck hast du 3 punkte, beim viereck 4 punkte
$\begin{eqnarray*} S = \frac{1}{4} (\vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c} +\vec{d} ) \end{eqnarray*}$
sollte ergeben S(4/2,5)

werner

19.02.2005, 23:02

aRo

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ja, das muss wohl rauskommen smile

aber ich würde erstmal gerne wissen, wie man das da überhaupt einzeichnet, damit ich darauf kommen kann.

also mit seitenhalbierenden und so komm ich da nciht klar...
sowie beim rechteck oder dreieck.

@wernerrin: Kannst du deinen ersten Satz nocheinmal erläutern, viell? Augenzwinkern

gruß,
aRo

19.02.2005, 23:07

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@Werner

Wenn's um den Schwerpunkt eines Vierecks geht, wo nur in den vier Ecken gleichschwere Massepunkte sitzen, dann hast du recht, Werner. Wenn allerdings die Masse gleichmäßig über die Viereckfläche verteilt ist, dann stimmt das i.a. nicht.

Beim Dreieck ist beides äquivalent, beim Viereck leider nicht.

@aRo

Falls es doch um gleichmäßige Masseverteilung auf einem n-Eck gehen sollte, dann hilft Triangulation dieses n-Ecks in (n-2) Dreiecke, Berechnung der (n-2) Dreiecksschwerpunkte $\begin{eqnarray*} \vec{x}_{S,k} \end{eqnarray*}$ sowie zugehöriger Dreiecksflächen $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ , und erhält dann den Gesamtschwerpunkt mit der Werner-Formel:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_S=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n-2}A_k \vec{x}_{S,k}}{\sum\limits_{k=1}^{n-2}A_k} \end{eqnarray*}$ .

19.02.2005, 23:14

aRo

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puh, ich habe das gefühl, dass mir das zu hoch ist traurig

ich wollt das ja erstmal zeichnerisch darein zeichnen, damit ich mir dann anschauen kann, wie ich mit den Vektoren auf die oben genannte Formel komme.

Naja, 2.Aufgabe: Zeige: Die 3 Schwerpunkte liegen nicht auf einer Geraden!

Nun, ich könnte ja nun die Punkte einfach nehmen, die Gerade zwischen 2 ausrechnen und dann schauen ob der 3 draufliegt...das wär ja leicht :-)

Aber nehmen wir mal an, ich hätte keine Zahlen also immer nur die Vektoren als LK von a,b,c,d wie kann ich denn dann das machen?

Wie kann ich aus denen eine Gerade basteln?

gruß,
aRo

19.02.2005, 23:18

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Zitat:

Original von aRo
Naja, 2.Aufgabe: Zeige: Die 3 Schwerpunkte liegen nicht auf einer Geraden!

Damit ist geklärt, dass du beruhigt zu Werner's Interpretation (die ja einfacher zu berechnen ist) greifen kannst, denn bei gleichmäßiger Masseverteilung liegen die drei Punkte auf einer Geraden - und dann wäre ja diese 2.Aufgabe widersinnig. smile

19.02.2005, 23:35

riwe

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ja klar,ich meinte damit, dass die (punktförmigen) massen in den punkten konzentriert sind

ich sehe, der nenner stimmt wohl nicht, sollte sein n, also:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{\sum_{k=1}^n~x_k}{n} \end{eqnarray*}$

werner

tschuldigung, wegen erläutern:
ich zitiere (z.b. aus bronstein): die koo des schwerpunktes eines systems materieller
Punkte Mi(xi,yi) mit den massen mi .....
$\begin{eqnarray*} x= \frac{\sum_{}~m_ix_i}{ \sum_{}~m_i} \end{eqnarray*}$
mit masse m_i= 1 folgt die aussage/vermutung

zu zeigen, dass die 3 punkte NICHT auf einer geraden liegen, sollte nicht zu schwer sein: baue gerade durch S1 und S2 (der dreiecke) und durch einsetzen von S3 verifiziert man, dass er nicht auf der geraden liegt

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