(schwaches) Gesetz der großen Zahlen

19.02.2005, 21:38	Harrem	Auf diesen Beitrag antworten »
(schwaches) Gesetz der großen Zahlen Moin, kann mir jmd. vielleicht nen Tipp zur folgenden Aufgabe geben? "Wie oft muss ich eine evtl. manipulierte Münze werfen, um mit 95,4%iger Sicherheit und einer Genauigkeit von 1% festzustellen, dass sie unfair ist?" Wie komm ich nur an das verfluchte n dran?! Bitte helft. Gruß, Harrem EDIT: Mein Vorschlag: Ich habe dazu eine Lösung gefunden, die sich aus dem schwachen Gesetz der großen Zahlen ableiten soll $\begin{eqnarray} \left(P(\|\hat\mu_n-\mu\|\geq \epsilon)\leq \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2}\right) \end{eqnarray}$ . Das Problem ist, dass hier keine Varianz angegeben ist. Kann man da - quasi als worst-case-Abschätzung - $\begin{eqnarray} \sigma^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ nehmen? Ich würde dann einfach $\begin{eqnarray} \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2}=0,954 \end{eqnarray}$ setzen und nach n auflösen. Kann man das so machen?
20.02.2005, 22:50	Harrem	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist diese Nuss zu hart oder zu trivial? Es wäre wirklich ganz prima, wenn sich jemand dazu äußern könnte. Ich brauch echt eure Hilfe! Schreibe morgen eine Klausur und bin ziemlich sicher, dass eine Frage der Art gestellt wird. Mir würde auch schon der Hinweis helfen, ob der Ansatz wenigstens stimmt. Vielen Dank schonmal vorab.
20.02.2005, 23:21	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry ich kann dir nicht helfen.... aber ich kann dich rügen..... lies mal bitte im userguide über pushposts nach.....
20.02.2005, 23:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du aufgeschrieben hast, sieht eher nach der Tschebyscheff-Ungleichung aus. Ich würde das eher über den ZGWS von Moivre-Laplace angehen, also dass für $\begin{eqnarray} S_n\sim\mathrm{Bin}(n,p) \end{eqnarray}$ die Beziehung $\begin{eqnarray} \frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\sim\mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ gilt. Hier ist $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ die Anzahl von "Kopf" (oder "Zahl" - ist egal, man muss sich nur einmal festlegen), und für die ungezinkte Münze $\begin{eqnarray} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} \hat{p}=\frac{S_n}{n} \end{eqnarray}$ der Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von "Kopf". Wenn also tatsächlich eine ungezinkte Münze vorliegt, dann muss nach ZGWS gelten $\begin{eqnarray} P\left(2\sqrt{n}\left\|\hat{p}-\frac{1}{2}\right\|<x\right)=2\Phi(x)-1 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \Phi(x) \end{eqnarray}$ ... Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ ). Wenn du jetzt $\begin{eqnarray} x=0.02\sqrt{n} \end{eqnarray}$ wählst, und für dieses x zudem $\begin{eqnarray} 2\Phi(x)-1\geq 0.954 \end{eqnarray}$ gilt, dann heißt das folgendes: Im Mittel werden mehr als 95.4% aller aus n Würfen bestehenden Münzexperimente mit einer ungezinkten Münze eine p-Schätzung liefern, die im Bereich [0.49,0.51] liegen. So interpretiere ich mal deine etwas unklare Aufgabenstellung. Jetzt kannst du aus der Bedingung $\begin{eqnarray} 2\Phi(0.02\sqrt{n})-1\geq 0.954 \end{eqnarray}$ noch dein n berechnen - aber ohne mich, ich muss morgen früh wieder arbeiten.
21.02.2005, 00:21	Danski	Auf diesen Beitrag antworten »

21.02.2005, 18:16	Harrem	Auf diesen Beitrag antworten »
Arthur, mein Held! Hast mir (mal wieder) aus der Patsche geholfen. Kam zwar leider nicht in der Klausur dran, aber wenigstens kann ich jetzt ruhig schlafen Ich hoffe, du hast dich durch mein aggressives pushpost nicht zu sehr genötigt gefühlt... @LOED: Ich bitte hiermit untertänigst um Vergebung, Eure Lordschaft. Ich wusste nicht, dass das verboten ist und werde mein subversives Verhalten selbstverständlich überdenken. (Eventuell werde ich mich auch angemessen dafür bestrafen...)
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21.02.2005, 21:51	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
übertreibs nicht! ich kann das auch verstehen - zuspät angefangen und dann bissl panik gekriegt... das kennt glaube ich jeder mal.... wollte auch nicht zu hart sein, wollte dich nur auf die regeln aufmeksam machen........ also sei nicht zu hasrt zu dir selbst (lass mich das sein g) mfg jochen ps: hoffentlich klappts mit der klausur!

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